數字拼圖之操作秘訣

| 玩法簡介 | 研究問題 | 移動的操作技巧 | 逆序和判別法 | 輪換判別法 |
玩法簡介
  • 益智遊戲是一種較為大眾化的應用數學,任何人不論對數學是否感興趣,或多或少都會為它著迷。主要是因為 它具有趣味性、消遣性及益智性,而不似一般數學那麼的深奧及枯燥。當然最主要的是因為它的大眾化,無需 具有高深理論即可實施,故不分男女老幼及教育程度,都能享有這份樂趣!
  • 數字拼圖就是這樣的一個數學益智遊戲,每隔一段時間就會掀起一陣流行,在小朋友間尤其普及,是一個十分 迷人的個人操作遊戲。
  • 一般的遊戲方式或市售的數字盤,是在一個 4 * 4 的盤面中放入 1∼15 的數字,並保留一個空格,遊戲者的 任務是利用移動空格旁邊的數字到空格中的方法,使得所有的數字由左而右、由上而下依序排列 (以下簡稱順 序花式) ,所以本遊戲也被叫做「移動十五」、「十五子棋」、「十五子迷」、「數字智慧盤」等。
  • 其實這個遊戲並不必限定在 4*4 的盤面中操作,但是市售的實體數字盤要做到任意改變大小似乎有點困難,而 且 4*4 的盤面難易度最為適中,所以大家就習以為常了。
  • 數字拼圖通常的玩法有下列幾種:
    1. 第一種玩法:將數字盤中的數字方塊全部倒出,然後隨意的將數字方塊裝回盤中(以下簡稱隨機花式),請遊 戲者排出順序花式。
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      ( 圖 1 ) 隨機花式一例。
    2. 第二種玩法:將數字盤中的數字方塊先排成順序花式,然後隨意移動到滿意為止(以下簡稱隨移花式),請遊 戲者復原成順序花式。
      ===>
      ( 圖 2 ) 將數字方塊隨意移動後,再要求復原。
    3. 第三種玩法:遊戲的目的花式不再是順序花式,而是指定的任一種花式,請遊戲者由目前花式轉換過去。
      <===> <===>
      ( 圖 3 ) 由指定的花式變成另一個花式。
研究問題
  • 任何一個有經驗的人都知道,既然第二種玩法旳隨移花式是由順序花式任意移動後造出的,那麼理論上, 只要順著相反的順序移動回去,當然可以還原成順序花序,至於其他的兩種玩法都會有無法達成目標的情形發生。
  • 以圖 1 左邊的隨機花式為例,如果你已掌握了操作的秘訣,應該可以很快的將它排成下圖中央的逆序花式,在這   種情況下,如果不把數字方塊拿出盤面再放回去,而只用規定的移動方式,是絕對無法排出順序花式的。
    ===>
    ===>
    不可能
    ( 圖 4 ) 逆序花式和順序花式。
  • 如果你的經驗夠豐富了,你會發現:所有的隨機花式都可藉由規定的移動方式排成逆序花式和順序花式之一, 無一例外。
  • 當可以用規定的方式移動數字方塊,使得某一隨機花式排成順序花式時,我們稱之為有解,反之是為無解。
  • 問題來了:
    1. 如果已知某一個隨機花式有解,該如何移動才能順利達成目標呢?
    2. 有沒有一個簡易的方法來判定怎樣的隨機花式有解,怎樣的隨機花式無解呢?
移動的操作技巧
  • 稍有經驗的人都知道,即使明知有解,但有些人就是可以在短時間內將數字東移西移,經過一番處理之後 迅速歸位以完成任務,有些人卻是千試萬試,不論如何移動,就是無法把數字塞到指定的位置以完成任務。 其差別就在有沒有理解並應用以下的一些移動技巧罷了。
  • 要把數字 1、2 移入位置 1、2 ,因為幾乎可說是沒有任何限制,所以應該是不會有問題的,只是使用 的步數多少的差別而已。
  • 本遊戲的第一個考驗來了,如果依樣畫葫蘆,貿然把 數字 3 移入位置 3 後(如圖 5),想把數字 4 移 入位置 4,如果不知道以退為進的道理,可能永遠都在繞圈子。一般人初試數字拼圖遊戲,把數字 1、2、3 移入位置 1、2、3 後覺得容易,但在移入 4 時遇到大麻煩,如果沒有人指點開竅, 很可能就心生畏怯,再也不踫本遊戲了。以下把處理相關狀況的技巧略舉一二,只要學會其中的一個, 就可應付自如了。
  • 狀況一:1、2、3 已就位, 4 從左方來,如何讓 4 就位?
    ( 圖 5 ) 狀況一:1、2、3 已就位, 4 從左方來,如何讓 4 就位?
    本狀況的處理,要打破已擺好位置的數字不要再動的迷思,否則雖也可用類似狀況 3 、4 之解法,但求 解步驟將大幅增加。本解法也可適用於「5、6、7 已就位, 8 從左方來,如何讓 6 就位?」的情形。
  • 狀況二:1、2、3 已就位, 4 從下方來,如何讓 4 就位?
    ( 圖 6 ) 狀況二:1、2、3 已就位, 4 從下方來,如何讓 4 就位?
    本狀況也可適用於「5、6、7 已就位, 8 從下方來,如何讓 8 就位?」的情形。
  • 狀況三:1、2、3 已就位, 4 從右下方來,如何讓 4 就位?
    ( 圖 7 ) 狀況三:1、2、3 已就位, 4 從右下方來,如何讓 4 就位?
    本狀況也可適用於「5、6、7 已就位, 8 從右下方來,如何讓 8 就位?」的情形。
    由解答示範的第一步竟然回頭向下走,可以給我們一個警示,以後遇此狀況,就不要向上去逼近是非之地比較好。
  • 狀況四:1、2 已就位, 如何讓 3、4 就位?
    ( 圖 8 ) 狀況四:1、2 已就位, 如何讓 3、4 就位?

    本狀況示範數字 3、4 都尚未就位時,比較節省移動步數的方法,尤怪把它叫做倒車入庫,先把數字 3 放到位置 4 , 數字 4 移到數字 3 的下方後再倒退就位;有時則要以相反的方式處理:先把數字 4 放到位置 3 , 數字 3 移到數字 4 的下方後再倒退就位。如何應用要看盤面數字的相對位置而定,所謂應用之妙存乎一心是也。
  • 狀況五:上半部已就位, 如何讓最後兩列就位?
    ( 圖 10 ) 狀況五:上半部已就位, 如何讓最後兩列就位?
    本示範提示我們:不管幾行幾列,上半部可以用狀況 1∼4 的著法一列一列擺好,但是最後兩列一定要先把最左一 行的兩個數字擺好位置,依次由左而右安排才好。對許多初學者來說,這也是一大障礙點。
  • 掌握以上操作要領之後,保証能讓你一路順風,趕快披掛上陣,表現一下吧!
逆序和判別法
  • 雖然已學會了移動的技巧,但稍有經驗的人都知道,如果採用隨機花式的玩法,將會有一半的機率出現無解的情形, 花費了一番工夫之後才發現無解時,那種滋味可真不好受。如果採用的是轉換指定花式的玩法,尤其是有人出題互 考時,最後才發現被以無解的情形來戲弄了,不也有點不甘心?所以如果學會了是否有解的判定法之後, 在移動前就判定了是否有解,不是反可讓那些想戲弄我們的人被唬得一楞一楞的嗎?
  • 要判別指定的隨機花式是否有解,逆序和判別法是較易於上手的方法。
  • 本法判別的步驟如下:
    1. 第一步:空格歸位。
      可以用任意的移動方式把空格移到右下角。以圖 1 和圖 2 的隨機花式為例,圖 11 和圖 12 分別採用了不 同的歸位方式。
      ===>
      ( 圖 11 ) 以先下移後右移的方式將空格歸位。

      ===>
      ( 圖 12 ) 以先右移後下移的方式將空格歸位。
    2. 第二步:點數逆序的個數,並求其和。
      把數字盤中的數字當成一個數列,其順序為由左而右、由上而下,以圖 11 右邊的歸位花式而言, 可看成是下面的數列
      9, 8, 4, 7, 3, 12, 13, 10, 11, 5, 15, 1, 6, 14, 2
      什麼是逆序呢? 當數列中較小的數字位置在較大數字的後方時,就是逆序。
      以上面的數列為例,
      數字 9 共有 8 個逆序,因為 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 都在它的後方,
      數字 8 共有 7 個逆序,因為 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 都在它的後方,
      數字 4 共有 3 個逆序,因為 1, 2, 3 都在它的後方,
      數字 7 共有 5 個逆序,因為 1, 2, 3, 5, 6 都在它的後方,
      數字 3 共有 2 個逆序,因為 1, 2 都在它的後方,
      數字 12 共有 6 個逆序,因為 1, 2, 5, 6, 10, 11 都在它的後方,
      數字 13 共有 6 個逆序,因為 1, 2 5, 6, 10, 11 都在它的後方,
      數字 10 共有 4 個逆序,因為 1, 2 5, 6 都在它的後方,
      數字 11 共有 4 個逆序,因為 1, 2 5, 6 都在它的後方,
      數字 5 共有 2 個逆序,因為 1, 2 都在它的後方,
      數字 15 共有 4 個逆序,因為 1, 2, 6, 14 都在它的後方,
      數字 1 共有 0 個逆序,因為它就是最小的數了,
      數字 6 共有 1 個逆序,因為只有 2 在它的後方,
      數字 14 也只有 1 個逆序,就是 2,
      數字 2 已是數列中的最後一個數字了,當然沒有逆序。
      所以逆序和就是 8 + 7 + 3 + 5 + 2 + 6 + 6 + 4 + 4 + 2 + 4 + 0 + 1 + 1 = 53
    3. 第三步:判定。逆序和為偶是有解,為奇則無解。
      由於圖 5 的逆序和為 53,所以圖 11 的隨機花式無解。
      請讀者自行計算試試,圖 12 的歸位花式其逆序和為 38,所以圖 12 的隨機花式有解。
      想到了嗎?在第二步計算逆序和時,其實可以偷一下懶,只注意和是奇偶就好, 不必老老實實的加總,那很累的!(看不懂?沒關係!當做尤怪我沒說就好了)
  • 因為我們的目的花式(順序花式)逆序和為 0 是偶數,所以所有有解的花式也一定是偶數逆序和。
    如果我們的目的花式(例如逆序花式)逆序和是奇數,則所有有解的花式也一定是奇數的逆序和。
輪換判別法
  • 要判別指定的隨機花式是否有解,逆序和判別法雖然較易於上手,但是點數起來有點麻煩不是嗎? 如果你有同感,那試試輪換判別法吧!
  • 本法判別的步驟如下:
    1. 第一步:空格歸位。同逆序和判別法之操作。
    2. 第二步:寫出輪換的連乘積。
      同樣的把數字盤中的數字看成是一個由左而右、由上而下的數列,以圖 11 右邊的歸位花式而言, 可看成是下面的數列
      9, 8, 4, 7, 3, 12, 13, 10, 11, 5, 15, 1, 6, 14, 2
      由數字 1 開始檢驗,如果它的位置和數值不符,就要開始以下製作輪換的過程:
      這個輪換的第一個數字是數值 1,它的位置跑到位置 12 去了,記成 (1, 12
      位置 12 應該是數值 12,但它卻跑到位置 6 去了,記成 (1, 12, 6
      位置 6 應該是數值 6,但它卻跑到位置 13 去了,記成 (1, 12, 6, 13
      位置 13 應該是數值 13,但它卻跑到位置 7 去了,記成 (1, 12, 6, 13, 7
      位置 7 應該是數值 7,但它卻跑到位置 4 去了,記成 (1, 12, 6, 13, 7, 4
      位置 4 應該是數值 4,但它卻跑到位置 3 去了,記成 (1, 12, 6, 13, 7, 4, 3
      位置 3 應該是數值 3,但它卻跑到位置 5 去了,記成 (1, 12, 6, 13, 7, 4, 3, 5
      位置 5 應該是數值 5,但它卻跑到位置 10 去了,記成 (1, 12, 6, 13, 7, 4, 3, 5, 10
      位置 10 應該是數值 10,但它卻跑到位置 8 去了,記成 (1, 12, 6, 13, 7, 4, 3, 5, 10, 8
      位置 8 應該是數值 8,但它卻跑到位置 2 去了,記成 (1, 12, 6, 13, 7, 4, 3, 5, 10, 8, 2
      位置 2 應該是數值 2,但它卻跑到位置 15 去了,記成 (1, 12, 6, 13, 7, 4, 3, 5, 10, 8, 2, 15
      位置 15 應該是數值 15,但它卻跑到位置 11 去了,記成 (1, 12, 6, 13, 7, 4, 3, 5, 10, 8, 2, 15, 11
      位置 11 應該是數值 11,但它卻跑到位置 9 去了,記成 (1, 12, 6, 13, 7, 4, 3, 5, 10, 8, 2, 15, 11, 9
      位置 9 應該是數值 9,但它卻跑到位置 1 去了,但因為這個輪換的起始數就是 1,所以輪換結束,記成 (1, 12, 6, 13, 7, 4, 3, 5, 10, 8, 2, 15, 11, 9)
      不包括在這個輪換的數值只剩下 14,而它恰好也在位置 14,所以不必製作另一個輪換。圖 11 的歸位花式輪換積就是 (1, 12, 6, 13, 7, 4, 3, 5, 10, 8, 2, 15, 11, 9) 了。
    3. 第三步:判定輪換積是偶排列或奇排列。
      把每一個輪換的元素個素減 1後相加,其和就姑且稱之為長度吧!長度為偶數的輪換積叫做偶排列,長度 為奇數的輪換積就叫做奇排列。
      (1, 12, 6, 13, 7, 4, 3, 5, 10, 8, 2, 15, 11, 9) 只有一個輪換且元素個數為 14,所以長度為 13, 是奇排列。
    4. 第四步:判定。若為偶排列則有解,為奇排列則無解。
      由於圖 11 對應的輪換積是奇排列,所以圖 11 的隨機花式無解。
      請讀者自行試試,圖 12 對應的輪換積為 (1, 3, 13, 4, 6, 12, 14, 8)(5, 7, 9, 10), 所以長度為 ( 8 - 1)+ ( 4 - 1 ) = 10 是偶排列,所以有解。
  • 因為我們的目的花式(順序花式)是偶排列,所以所有有解的花式也一定是偶排列。
    如果我們的目的花式(例如逆序花式)是奇排列,則所有有解的花式也一定是奇排列。
結語
  • 以上的示範及討論都是用一般的 4 * 4 盤面,如果改換成 n * m 的盤面時,是否也可以依樣畫葫蘆呢? 是的,以上的方法及結論全部適用。
  • 那麼市售的實體數字盤或一般的玩法為什麼大都是採用4*4 的盤面呢?除了實體數字盤要做到任意改變大小 實在非常困難外,另一個原因就是 3 * 3 的盤面只有數字 1 的歸位是簡單的,其他的每一個數字要歸位都 要大費思量,而 5 * 5 以上的盤面,有一半以上的數字都毫無挑戰性,最右兩行及最下兩列雖然是比較有困難度的, 但是能解決兩個,就表示已掌握了移動的技巧了,再多的類似情況也可順利過關,所以並無意義。 4*4 的盤面難易度因此最為適中,所以大家就習以為常了。
 
 
 
本網頁建置日期:91.11.27 | 最近更新日期:91.12.11  | 回上頁 | 回首頁 |