梵天塔與世界末日

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傳說之一
  • 得道成仙是每一個人的夢想,你曾經有過這個夢想嗎?如果有,卻又不知怎樣才能圓夢,那麼要不要試試下面這個傳說呢?
  • 古老的印度有一個傳說:誰能夠將神壇上的木盤依照規定的方式移好,就能得到神的接引,登天成仙哦!
  • 木盤移動的規定是怎樣的呢?很簡單:
    1. 神壇上有三個安放木盤的底座,開始的時候要把所有的32個木盤都放在第一個底座上。
    2. 這32個木盤最大的在最下面,愈往上愈小,形成一個塔狀。
    3. 移動木盤時,只能把較小的木盤移到較大的木盤上面,不能把較大的木盤移到較小的木盤上面。
    4. 當所有的木盤都從第一個底座移到第三個底座去後,就能得道成仙了。
  • 我不知道你是不是想得道成仙。但是到目前為止,並沒有任何人因為完成這項任務而成仙的。原因並不在這個傳說是假的, 而是因為根本就還沒有人能完成這項挑戰。那麼,你有興趣進行這項挑戰,以驗証這個傳說的真實性嗎?
傳說之二
  • 在印度北部的貝拿勒拿聖廟裡,安放著一塊銅板,板上插著三根寶石針。
  • 據說,梵天是婆羅門教三位主神之一,是創造之神。當他在創造世界的時候,也製造了這塊黃銅板, 並在第一根寶石針上穿了六十四個金環。這些金環,最大的在最下面,愈往上愈小,形成一個塔狀, 這就是梵天塔。
  • 梵天告訴貝拿勒拿聖廟裡的僧侶,不論白天或晚上都要有一個僧侶按照梵天的規定,把金環在三根針之間移來移去。 這個規定也很簡單,就是每次只能移動一個金環,而且在移動的時候,只能把較小的金環移到較大的金環上面, 不能把較大的金環移到較小的金環上面。最終的目標是把這 64 個金環全部移到第三根寶石針去。
  • 梵天也告訴貝拿勒拿聖廟裡的僧侶們:他們必須一代接一代,不論白天或晚上都不停止的去移動金環,以保 持天地、大自然的運行,但如果達到了目標之後,世界就會在一聲霹靂中消失,也就是世界的末日到了。
  • 僧侶們遵守梵天的指示,一代接著一代,白天或晚上都不停止的去移動金環,一時一刻都不敢疏忽, 畢竟天地的運作、命運都掌握在他們的手中,但是他們也十分的擔心:雖然他們始終未能把金環全部移到第三根 針上去。但是世界的末日到底將在什麼時候來臨呢?
問題研究
  • 我們還可以看到其他類似於以上故事的傳說,這些傳說的真假我們或許無法驗証,但是如果把他們當作數學問題來做, 卻是個很有趣的問題。
  • 數學問題不管多麼複雜,做題目往往要從最簡單的情況開始分析,以便推導出一個規律來,這個問題也是一樣, 如果你還不了解,就讓我們一起來推導出移動的規律來吧!
  • 當只有一個木盤( 或金環 )時,只要移動一次就夠了,這個不必尤怪為你示範吧!
  • 當木盤有 2 個時:我們可以用下面這個三階段走法來進行思考:
    1. 第 1 階段:將 1 個木盤由第 1 個底座移到第 2 個底座,這需要 1 次的移動。
    2. 第 2 階段:將 1 個木盤由第 1 個底座移到第 3 個底座,這需要 1 次的移動。
    3. 第 3 階段:將 1 個木盤由第 2 個底座移到第 3 個底座,這需要 1 次的移動。
    4. 合計三個階段共需要 3 次的移動。
      ( 圖 1 ) 2 個木盤的移動示範

  • 當木盤有 3 個時:我們一樣用下面這個三階段走法來進行思考:
    1. 第 1 階段:將 2 個木盤由第 1 個底座移到第 2 個底座,這需要 3 次的移動。
    2. 第 2 階段:將 1 個木盤由第 1 個底座移到第 3 個底座,這需要 1 次的移動。
    3. 第 3 階段:將 2 個木盤由第 2 個底座移到第 3 個底座,這需要 3 次的移動。
    4. 合計三個階段共需要 7 次的移動。
      ( 圖 2 ) 3 個木盤的移動示範

  • 當木盤有 4 個時:我們一樣用下面這個三階段走法來進行思考:
    1. 第 1 階段:將 3 個木盤由第 1 個底座移到第 2 個底座,這需要 7 次的移動。
    2. 第 2 階段:將 1 個木盤由第 1 個底座移到第 3 個底座,這需要 1 次的移動。
    3. 第 3 階段:將 3 個木盤由第 2 個底座移到第 3 個底座,這需要 7 次的移動。
    4. 合計三個階段共需要 15 次的移動。
      ( 圖 3 ) 4 個木盤的移動示範

  • 當木盤有 5 個時:我們還是用下面這個三階段走法來進行思考:
    1. 第 1 階段:將 4 個木盤由第 1 個底座移到第 2 個底座,這需要 15 次的移動。
    2. 第 2 階段:將 1 個木盤由第 1 個底座移到第 3 個底座,這需要 1 次的移動。
    3. 第 3 階段:將 4 個木盤由第 2 個底座移到第 3 個底座,這需要 15 次的移動。
    4. 合計三個階段共需要 31 次的移動。
      ( 圖 4 ) 5 個木盤的移動示範

  • 好了,相信你已找到了一點變化的規律,為了更清楚的表示出來,下面我們採用表列的方法:
    木盤數計數所需次數乘冪式
    11121-1
    21 + 1 + 1322-1
    33 + 1 + 3723-1
    47 + 1 + 71524-1
    515 + 1 + 153125-1
    631 + 1 + 316326-1
    763 + 1 + 6312727-1
    8127 + 1 + 12725528-1
    ............
    ( 圖 5 ) 木盤個數和移動次數的對照表

  • 由以上的推導及表列,我們可以得到以下結論:移動 n 個環需要移動 2n-1 次。
  • 採用數學歸納法,我們可以証明這個結論是正確的,但這就留給有興趣的讀者去當作業吧!
結語
  • 回到前面介紹的傳說吧!兩個傳說留下了兩個問題,現在來解決它。
  • 首先解決第一個傳說所留下來的問題:搬完 32 個木盤就可以得道成仙, 這麼簡單的事,何以沒有人可以完成呢?
    1. 由問題探討的結論中,我們可以很快的知道:搬完 32 個木盤需要移動
      232-1 = 2,147,483,647 次。
    2. 如果一個人一出生就不吃、不喝、不休息、不睡覺、不思考、像機器人一樣,以一秒鐘移動一次的速度 去移動木盤,那麼他共需要移動 2,147,483,647 秒。
    3. 每分鐘是 60 秒,所以共要移動 2,147,483,647 秒 ÷60 = 35,791,394 分。
    4. 每小時是 60 分,所以共要移動 35,791,394 分 ÷60 = 596,523 小時。
    5. 每天是 24 小時,所以共要移動 596,523 小時 ÷24 = 24,855 天。
    6. 每年是 365 天,所以共要移動 24,855 天 ÷365 = 68 年。
    7. 好,現在你可以自己推斷一下,為什麼沒有人可以完成任務得道成仙了吧!
  • 再回答第二個傳說所留下來的問題吧:搬完 64 個金環的世界末日,到底將在什麼時候 來臨呢?
    1. 搬完 32 個木盤只需要大約 68 年的時間,那麼搬完 64 個金環應該不需要太多時間吧! 世界末日應該很快就將降臨。
    2. 如果你這樣想就大錯特錯了,依照結論:搬完 64 個金環需要移動的次數是
      264-1 = 18,446,744,073,709,551,615 次。
    3. 請自己去換算一下,同樣假設和尚們一代接著一代,日以繼夜毫不停歇的以一秒鐘移動一次金環的速度進行, 搬完 64 個金環所需要的時間大約是 5800 億年。
    4. 科學家告訴我們:太陽和他的行星大約是 50 億年前逐漸形成的,他的壽命估計約有 100 億年。
    5. 哈!哈! 現在你還會擔心那 64 個金環一搬完世界末日就會降臨嗎?
  • 數字的連加雖然可使數字倍增,但數字連乘的威力現在你可算見識到了吧!
 
 
 
本網頁建置日期:91.12.03 | 最近更新日期:91.12.03  | 回上頁 | 回首頁 |