三角棋解析

| 遊戲介紹 | 三角棋與拈 | 三角棋的勝型 | 三角棋的變形 |
遊戲介紹
  • 三角棋顧名思義,就是把銅板或棋子排成三角形(如圖 1)而進行的遊戲。參與遊戲的兩人輪流從棋盤中拿取棋子, 取子的時候,可以取一枚或多枚棋子,但所取的子必須相連且成一直線,在不斷的輪流取子後,最後 總有一個時刻棋子將被取光,而將棋子取光的人就是贏了。
    ( 圖 1 ) 三角棋
  • 圖 1 中的字母編號是為了往後解說時的方便而加上的,真正遊戲時棋子是不須加以編號的。
  • 遊戲的規則雖然很簡單。但是致勝的法則卻不容易掌握。因此有些人認為這個遊戲是沒有必勝方法的。 真的是這樣嗎?
三角棋與拈
  • 一個頭腦靈活的人只要稍加思考,不久就可發現:如果剩餘的棋子都分別連成直線,那麼只要應用 「拈」的勝型判斷法,就可以掌握遊戲的勝型而獲得最後的勝利了。
  • 如果你還沒有玩過「拈」這種遊戲,請按這裡去體驗一下!
  • 圖 2 的殘型例一展示了實戰中的一個例子,其左圖中的棋子原來好像漫無頭緒,但如果將編號 為 G、H、I、J 的棋子取去後,盤面立刻豁然開朗,形成了{ 1, 2, 3 } 的勝型,留下這個殘型的 玩者已是必勝的了。
    ( 圖 2 ) 殘型例一
  • 如果玩者以為只要算出各堆的棋子數,再應用「拈」的勝型判斷法就可以是必勝了,那將是大錯特錯的。
    ( 圖 3 ) 殘型例二
    圖 3 展示了一個玩者甲單純的以各堆棋子數,應用「拈」的勝型判斷法而留下的殘型,玩者甲認為 這也是 { 1, 2, 3 } 的殘型,所以他是必勝的,你同意嗎?當然是錯了,因為對手 ( 玩者乙 ) 只要拿走 G, 就可搶佔真正的勝型,而等待勝利的來臨了。為什麼會這樣呢?以下我們就將所有的 應手變化列出,結果自然十分明白了:
    1. 玩者甲取 H 時,玩者乙可取 AB,此時玩者甲只能取走所餘 2 子之一,而讓玩者乙取光棋子獲勝。
    2. 玩者甲取 J 時,玩者乙同樣取 AB,仍是留下分開的二子而得勝。
    3. 玩者甲取 A 時,玩者乙取 BC,還是留下分開的二子。
    4. 玩者甲取 B 時,玩者乙取 AC。
    5. 玩者甲取 C 時,玩者乙取 AB。
    6. 玩者甲取 AB 時,玩者乙取 C。
    7. 玩者甲取 AC 時,玩者乙取 B。
    8. 玩者甲取 BC 時,玩者乙取 A。
  • 看了以上的例子就可知道:三角棋雖是拈的一種變形玩法,如果各堆的餘子各自形成一直線,那麼 「拈」的勝型判斷法一樣可以應用在三角棋上,但是當各堆的餘子並非形成一直線時,那麼 「拈」的勝型判斷法就不一定可採用了。
三角棋的勝型
  • 由以上的討論,我們可知:只要能掌握餘子未形成直線的部分,就可以掌握三角棋的勝型了。
  • 各堆餘子數為 1 或 2 枚的情形可以跳過,因為這時的餘子必成一直線,可以一次取光。
  • 三枚餘子相連但未形成一直線的情形有圖 4 中的兩種:
    ( 圖 4 ) 三枚餘子相連但未形成一直線的殘型
    同樣的,圖中的編號只為了方便解說而加上,並不表示一定要在三角棋上的特定位置,例如左圖中的 DEC, 也可以是 HIF、LMI,或者經旋轉、鏡射後的 BDH、HIN...... 等;同理:右圖中的 ABC,也可以是 DGH、 IJN......等;僅取其形,且經旋轉、鏡射後形狀相同的殘型,全部視為相同。
  • 殘型 DEC 有何特點呢?解析如下:
    1. 當盤面上僅餘該殘型時,玩者可取 E 而搶佔 { 1, 1 } 勝型,所以殘型 DEC 為敗型。
    2. 當盤面上僅餘該殘型及另一棋子時 ( 姑且假設為 N 吧! ),玩者可取 CE 而一樣搶佔 { 1, 1 } 勝型,所以殘型 DEC 及 N 為敗型。
    3. 當盤面上僅餘該殘型及另 2 個相連成直線的棋子時 ( 姑且假設為 MN 吧! ),玩者可取 C 而搶佔 { 2, 2 } 勝型,所以殘型 DEC 及 MN 為敗型。
    4. 當盤面上僅餘該殘型及另 3 個相連成宜線的棋子時 ( 姑且假設為 LMN 吧! ),玩者不論如何取子, 都會被對手取得勝型,所以殘型 DEC 及 LMN 為勝型。
    由以上解析,可知殘型 DEC 和殘型 LMN 可視為是相同的 ( 下文就姑且稱之為等價殘型吧 ),所以兩者形 成的 { 3, 3 } 殘型是勝型。
  • 殘型 ABC 有何特點呢?解析如下:
    1. 玩者甲若取 A 則玩者乙可取 BC 得勝。
    2. 玩者甲若取 B 則玩者乙可取 AC 得勝。
    3. 玩者甲若取 C 則玩者乙可取 AB 得勝。
    4. 玩者甲若取 AB 則玩者乙可取 C 得勝。
    5. 玩者甲若取 AC 則玩者乙可取 B 得勝。
    6. 玩者甲若取 BC 則玩者乙可取 A 得勝。
    由以上解析,可知 ABC 殘型和沒有時是一樣的,即其等價殘型為 { 0 },所以圖 3 的殘型其實 是 { 0, 1, 2 } ,依拈的勝型判斷法,這確實不是勝型;當玩者乙拿走 G 後的殘型 { 1, 1, 0 } , 才是勝型。
  • 使用同樣的方法解析,圖 5 中列出了 5 枚棋子以下,相連但未形成一直線的所有情形,並把其等價殘型也 一併列出,第一欄的編號是以等價殘型及出現順序來編碼的:
    編號棋形等價殘型
    3-1{ 3 }
    0-1{ 0 }
    4-1{ 4 }
    4-2{ 4 }
    1-1{ 1 }
    1-2{ 1 }
    1-3{ 1 }
    5-1{ 5 }
    5-2{ 5 }
    5-3{ 5 }
    5-4{ 5 }
    5-5{ 5 }
    1-4{ 1 }
    5-6{ 5 }
    5-7{ 5 }
    2-1{ 2 }
    1-5{ 1 }
    1-6{ 1 }
    5-8{ 5 }
    5-9{ 5 }
    2-2{ 2 }
    1-7{ 1 }
    5-10{ 5 }
    4-3{ 4 }
    4-4{ 4 }
    0-2{ 0 }
    4-5{ 4 }
    ( 圖 5 ) 4、5 枚餘子相連但未形成一直線的殘型
    如果讀者對以上的等價殘型有疑問不解的地方,因遊戲天地的三角棋程式具有 電腦提示的功能,請先將遊戲方式改為雙人,然後將多餘的棋子取走後,按下 [電腦提示] 按鈕即可參考 電腦的應手了。例如圖 5 中編號為 5-6 的殘型,其等價殘型為 { 5 },但你對這個殘型和 { 1 } 的殘型組合, 想不出正確的應手時,只要在雙人模式下將盤面設定成類似圖 6 的樣子,再按下 [電腦提示] 按鈕即可得到 電腦給出的正確應手;如果該殘局有甚多致勝的應手,只要重複按下 [電腦提示] 按鈕,電腦就會從這些 致勝的應手中隨機抽出一個來顯示。
    ( 圖 6 ) 利用電腦提示的範例
  • 相信你已注意到了:去除連成一直線的狀態後,三子相連的殘型有 2 種; 4 子相連的殘型有 5 種; 5 子相連的殘型則有 20 種;........ 。雖然這樣一直推導下去,最終一定能得知三角棋開局時倒底是勝或輸型, 但是棋子數目多了之後的繁複變化,稍一不慎即可能漏失某些重要狀態,而造成結論的錯誤!所以我們 必須改變推導的方向,就以目前所得為基礎,對某些可能有用的殘型先加以解析即可。
  • 既然要另闢蹊徑,您會怎麼做呢?尤怪認為棋子數愈少、形狀愈規則愈好推導或記憶。在經過一番嚐試之後, 發現只要掌握 3 子及 4 子相連的 7 個殘型,再加上圖 7 中的 10 個殘型,一共 17 個殘型,即可操控遊戲的 進行了;如果玩者是遊戲的先手時,可永保不敗,如果是後手時,除非對手也對本遊戲十分有心得,否則也能 適時扭轉乾坤,反敗為勝。
    編號棋形等價殘型
    5-1{ 5 }
    1-4{ 1 }
    1-5{ 1 }
    0-3{ 0 }
    1-8{ 1 }
    1-9{ 1 }
    1-10{ 1 }
    1-11{ 1 }
    1-12{ 1 }
    1-13{ 1 }
    ( 圖 7 ) 掌握這些殘型就可操控三角棋的進行
  • 如果我方為先手,該如何利用圖 7 中的殘型來操控遊戲的進行呢?方法十分簡單,就是在開局的第一手 取去 BC 二子。接下來針對後手玩家的所有可能應手,我方的因應之道如圖 8:
    對手取子我方應手說明
    AJN利用 1-13 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    DFJ利用 1-12 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    EIM利用 4-2、5-1 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 4, 5 }
    FDG利用 1-12 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    GDE利用 1-11 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    HJN利用 0-3 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 0, 1, 1 }
    IGL利用 0-3 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 0, 1, 1 }
    JEF利用 1-11 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    KGL利用 1-13 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    LGHIJ餘子的殘型組合為{ 1, 1, 3, 3 }
    MEI利用 4-2、5-1 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 4, 5 }
    OJN利用 1-13 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    DEG利用 1-11 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    EFJ利用 1-11 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    GHEIN餘子的殘型組合為{ 1, 1, 3, 3 }
    HIKLMNO利用 1-5 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    IJEHL餘子的殘型組合為{ 1, 1, 3, 3 }
    KLG利用 1-13 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    LMHI利用 1-10 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    MNHI利用 1-10 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    NOJ利用 1-13 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    DGE利用 1-11 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    GKL利用 1-13 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    EHM利用 4-2、5-1 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 4, 5 }
    HLEIN餘子的殘型組合為{ 1, 1, 3, 3 }
    FIDHM利用 0-1 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 0, 0, 1, 1 }
    IME利用 4-2、5-1 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 4, 5 }
    JNGHI餘子的殘型組合為{ 1, 1, 3, 3 }
    FJD利用 1-12 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    JON利用 1-13 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    EIM利用 4-2、5-1 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 4, 5 }
    INEHL餘子的殘型組合為{ 1, 1, 3, 3 }
    DHFIM利用 0-1 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 0, 0, 1, 1 }
    HME利用 4-2、5-1 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 4, 5 }
    GLHIJ餘子的殘型組合為{ 1, 1, 3, 3 }
    DEFHM利用 0-1、1-3 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 0, 1, 1 }
    GHIJN餘子的殘型組合為{ 1, 1, 3, 3 }
    HIJGL餘子的殘型組合為{ 1, 1, 3, 3 }
    KLMGHIJ餘子的殘型組合為{ 1, 2, 3 }
    LMNE利用 1-9 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    MNOGHIJ餘子的殘型組合為{ 1, 2, 3 }
    DGKEHL利用 1-8 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    EHLIJ餘子的殘型組合為{ 1, 1, 3, 3 }
    FIMDH利用 0-1 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 0, 0, 1, 1 }
    FJOEIN利用 1-8 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    EINGH餘子的殘型組合為{ 1, 1, 3, 3 }
    DHMFI利用 0-1 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 0, 0, 1, 1 }
    GHIJKLM餘子的殘型組合為{ 1, 2, 3 }
    KLMNGHI利用 1-4 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    LMNOHIJ利用 1-4 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    KLMNOHI利用 1-5 殘型,餘子的等價殘型組合為{ 1, 1 }
    ( 圖 8 ) 先手取去 BC 後對戰的因應之道
  • 由前面的討論,已可知道三角棋是個先手勝的遊戲了。如果不幸我方為後手時,雖然先手者不一定能 掌握遊戲的訣竅,而在第一手時胡亂取子了事,但棋子的排列組合如此之多,我們怎能將之全部記 住而反敗為勝呢?要將所有的勝型記住,當然是不可能的,但利用以下的策略,我們即可利用我方 最擅長的等價殘型,隨時反敗為勝:
    1. 如果先手者取 A,我方取 GHIJ 即可立即搶佔 { 5, 5 } 勝型。當先手者取等價的 K 或 O 時, 我方相對的取 BEIN、CEHL 即可。
    2. 如果先手者取 B,我方取 C 即可立即搶佔 { 1, 1 } 勝型,如同上面所論述之我方先手的情況了。 同理當先手者取等價的 C、G、L、J 或 N 時,我方都可立即反敗為勝。
    3. 如果先手者取 D,我方取 BEIN 即可立即搶佔 { 5, 5 } 勝型。同理當先手者取等價的 D 或 M 時, 我方都可立即反敗為勝。
    4. 如果先手者取其他棋子,因為取法共有 75 種,限於篇幅,尤怪就不再一一列出應手,我方可依 盤面的狀況任取 BC、GL、JN、GHIJ、BEIN 或 CEHL ...... 等, 總之就是要造出一個 { 1 } 的殘型,以便在對方取子後,應用我們熟記的 17 個殘型來反敗為勝。
三角棋的變形
  • 以上討論的取子策略均為在不限取子數目 ( 但因相連成直線的子最多僅 5 子,所以也等於限制了 最大取子數目為 5 )、最後取光棋子者勝的規定之下才是有效的。但就和拈一樣,三角棋也可以 有很多的變形玩法。
  • 第一個改變的方法就是規定最後取光棋子者輸。也許玩者會認為:只要掌握了前段所討論的等價殘型, 再利用拈的勝型判斷法,這樣的改變還不是一樣穩握勝券?如果你也這樣想,那就大錯特錯了,請看 下面的例子:
    ( 圖 9 ) 最後取光棋子者輸或勝的等價殘型不同二例
    圖 9 左邊的殘型在前段的討論中編號是 1-13,等價殘型為 { 1 },如果玩者以拈的單堆判斷法,認為這就是 勝型而搶佔之,那麼對方只要取去 GHI 就勝了。同樣的,當對手留下圖 9 右邊的型時,如果玩者認為這 是 { 1, 1 } 的殘型而心喜時,其實已處於必敗的境地了,請再詳細研究即可知:對手已搶佔了勝型啦!
  • 另一個改變的方法就是限制每次拿取的最大數目,遊戲者每次仍需至少取一枚銅板,但不能無限制的一次 取走一整列的銅板,最多只能拿取某一指定的數目。這樣的做法,又使遊戲變得更加的複雜化及具挑戰性。
  • 更大的改變是:每次可以取一枚或多枚棋子,所取的子只須相連即可,不管他們是否連成直線,到最後將 棋子取光的人贏( 或輸 ),這時遊戲的致勝法如何呢?
  • 當然你也可試試:每次可以取一枚或多枚棋子,所取的子只須在同一直線上即可,不管他們是否相連,到最後將 棋子取光的人贏( 或輸 ),這時遊戲的致勝法又如何呢?
 
 
 
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