拈及其變形遊戲

| 「拈」 | 拈的變形遊戲 | 名詞定義 | 拈的必勝法 | 結語 | 拈的再變形 |
「拈」
  • 拈是極其古老且饒富趣味的一個遊戲。據說,拈源自中國,經由被販賣到美洲的奴工們外傳。 辛苦的工人們,在工作閒暇之餘,用石頭玩遊戲以排遣寂寞。流傳到高級人士,則用辨士 (Pennils), 在酒吧旳櫃檯上玩。最有名的是將十二枚辨士分三列排成「三、四、五」的遊戲,如下圖:
    ○ ○ ○
    ○ ○ ○ ○
    ○ ○ ○ ○ ○
    ( 圖 1 ) 十二枚辨士的拈
    遊戲的規則很簡單。兩人輪流取銅板,每人每次需在某一列取一枚或一枚以上的銅板,但不能同時在 兩列取銅板,直到最後,將銅板拿光的人贏得此遊戲。也可以做相反的規定:最後將銅板拿光的人輸。
  • 一個頭腦靈活的人只要稍加研究,不久就會發現:先取的人,在第一列的三枚銅板中取走二枚,就能穩操勝算。 另一個顯而易見的規律是:只要你留下兩列枚數相同的銅板,必可獲勝。
  • 所以如果這個遊戲只是「三、四、五」型態,那麼不久後,大部份人就能熟悉其中規律,並且變得沒有興趣。 有一個改變的方法是,將銅板的列數增加,每一列的枚數改變。這樣的做法,的確使人有毫無規律的感覺, 至少不至於像「三、四、五」型態的拈一樣易於把握。
  • 另一個改變的方法就是限制每次拿取的最大數目,遊戲者每次仍需至少取一枚銅板,但不能無限制的一次 取走一整列的銅板,最多只能拿取某一指定的數目。這樣的做法,又使遊戲變得更加的複雜化及具挑戰性。
  • 如果你還沒有玩過「拈」這種遊戲,請按這裡去體驗一下!
  • 用來玩拈的道具不限於銅板。工餘之時,石頭可以玩;無聊磕瓜子時,瓜子可以玩;圍棋子可以玩; 也可以將石頭分堆放置,一堆相當於一列。這些都不是重點,我們甚至可以改變拿取銅板的規定, 以及最後取光時輸贏的規定。
「拈」的變形遊戲
  • 在所有拈的變型遊戲中,單堆遊戲是最簡單的。最常見而為大眾熟悉的玩法是這樣的:「兩人輪流取一堆石頭, 每人每次最少取 1 個,最多取 3 個,最後取光石頭的人贏得此遊戲。」
  • 如果是在遊覽車上,沒有石頭等道具時,單堆遊戲的玩法也可以是這樣的數數奪標:「兩人輪流數數, 每人每次最少數 1 個數,最多數 3 個數,數到 30 的人贏得此遊戲。」小學時在校外教學的遊覽車上, 遊覽車小姐和我們班上的小朋友們玩這個遊戲,不管誰向她挑戰,結果全都是敗北,叫我們直覺得她 是不是有邪術?
  • 數學戲谷中的「停車場風雲」也是拈的單堆變形遊戲之一。
  • 有單堆遊戲,為什麼沒有雙堆遊戲呢?可能是雙堆遊戲的獲勝規律太簡單了,任何一個細心的人玩過幾次以後, 都會察覺到贏家的操作方法而看出破綻,到時就不是想勝就能得勝了。
  • 和單堆遊戲一樣,要將多堆的拈變形的最簡單思考就是:將拈由歸 0 的遊戲,改變成達到某一目標值的反向玩法, 數學戲谷中的「百點驚爆」就是拈的這類變形。
  • 不管是取石子、拿牙籤、或是數數字,都讓人意識到這是個和數值相關的遊戲,於是拈的棋盤變形遊戲出現了。 奔向終點是其中的一種玩法:「一些木盤套在柱子上,兩人輪流移動這些木盤,每次移動只能選取一個木盤, 並且只能向左移動,將最後一個木盤移到左端第一個柱子上的玩家得勝!」不過這個遊戲雙人對抗的感覺並不明顯,
    ( 圖 2 ) 拈的一個變形---奔向終點
  • 兵臨城下是拈的棋盤變形遊戲中對抗感較大的一種玩法,由於棋盤的限制,它也放寬了拈類遊戲中數值 只能單向變化的規定,但那其實是無意義的,因為對拈稍有研究的人都會知道:當佔據勝型時,只要 對手退一步,我們就跟上一步;對手退兩步,我們就跟上兩步;......那麼我們仍可佔住勝型,而對 手終有退無可退的時候!
  • 以上列出的變形遊戲雖然形式不同,但都有相同的內涵,因為若把兵臨城下中兩軍間的空格數、奔向終點中各 木盤到終點柱間的剩餘步數、百點驚爆中各球和驚爆數間的差值、停車場風雲中剩餘的停車格數、數數奪 標中目前累計值和奪標值間的差值、撿石子遊戲中石子的剩餘數都轉換成拈之各堆剩餘石子數時,它們都 有著相同的遊戲模式。
名詞定義
  • 最大拿取數:玩者在輪到拿取石子時可拿取的最大數字。
  • 勝負判定方式:通常的玩法是拿到最後一顆石子的人為勝方,當然也可以設定成拿到最後一顆石子的人為輸方。
  • 殘型:目前每一堆石子的數量,例:共有 3 堆,每堆的數量分別為 3、4、5 個,則記為 { 3, 4, 5 }
  • 勝型:
    1. 如果殘型對輪到要拿取石子的人而言,不論如何拿取都必定會輸時;我們就把這個殘型叫做勝型。
    2. 遊戲者拿取石子時必須要搶佔勝型,誰能搶佔到勝型,就能使對方輸而自己勝。
  • 輸型:
    1. 如果殘型對輪到要拿取石子的人而言,只要正確的拿取就可搶佔到勝型時;我們就把這個殘型叫做輸型。
    2. 遊戲者選取數字時必須要避開輸型,否則就是對方勝而自己輸了。
拈的必勝法
一、「拿到最後一顆石子的人勝」之必勝秘訣
  • 在本世紀初,哈佛大學數學系副教授查理士.理昂納德.包頓 (Chales Leonard Bouton) 提出一篇極詳盡 的分析和證明,利用數的二進位表示法,可以算出目前之殘型是勝型或敗型。判斷的方法很簡單:首先, 將殘型的各數值化成二進位數,相加但不進位,然後再看和的各個位數。如果和的各個位數都是偶數, 那麼這個殘型是勝型;否則,只要有一位是奇數,則為輸型。例如 { 3, 4, 5 } 的遊戲,一開始就是輸型, 所以先拿的人可以在第一堆中取走兩枚銅板而造成勝型得勝。
    3 = 11
    4 =100
    5 =101
    + ------
    212
    要注意的是如果最大拿取數為定數 max 時,則殘型的各個數值必須先取除以 ( max + 1 ) 的餘數(不妨 稱為餘數殘型吧),例如:在最大拿取數為 3,殘型為 { 7, 8, 9, 10, 11 } 的遊戲中, 餘數殘型為 { 3, 0, 1, 2, 3 } 是輸型,此時的必勝拿法十分的多:可在第一堆中拿取 3 個,或在第二堆中 拿取 1 個、在第三堆中拿取 3 個、在第四堆中拿取 1 個、在第五堆中拿取 3 個......等, 全都可佔到勝型而得勝。
    3 = 11
    0 = 0
    1 = 1
    2 = 10
    3 = 11
    + ------
    33
  • 最大拿取數為定數 max 時,須先轉換為餘數殘型是十分重要的,絕對不可忘記,例如 { 3, 5, 6 } 的殘型 在最大拿取數不設限時是勝型:
    3 = 11
    4 =101
    5 =110
    + ------
    222
    但假若最大拿取數為定數 4 時,{ 3, 5, 6 } 的餘數殘型變成 { 3, 0, 1 } 是為輸型,所以可在 第一堆中取去 2 個或在第二堆中取去 3 個、第三堆中取去 3 個...等,全都可佔到勝型而得勝。
    3 = 11
    0 = 0
    1 = 1
    + ------
    012
  • 數學遊戲的趣味性和其數學理論的完整性是互相排斥的兩個部份。如果一種遊戲可以完全被數學決定以後, 玩的人只要曉得其中的理論,無不處於優勢。遊戲本身則成為數學的計算,玩起來必索然無味;但如果 將它視為數學問題處理,則蘊藏有甚多美妙的理論在其中。富有挑戰性的遊戲,則沒有固定的規律可尋, 必須隨機應變,靠臨場的機智和以往的經驗取勝,玩者有味;但在數學理論上則沒有什麼可言。
  • 拈雖然可用二進位判斷法決定勝負,但玩者為了避免對手看出這是由著數學來決定的,大概都不會真的拿出 紙筆來玩這個遊戲,但是要將 3、4 個數字轉換成二進位,再將每一個位值相加後決定勝負,豈是一般人 不用紙筆純用心算可以達成的!所以大部分的玩家都是先熟背部分勝型,一開始時隨意亂取,等踫到符合 自己熟背的勝型時才依法取子。因此誰能背下更多的勝型或掌更多的規則,那麼他大概就是玩家了。
  • 如果最大拿取數不設限,單堆皆為輸型;雙堆時兩堆同數為勝型;三堆時
    { 1, 2, 3 }、 { 1, 4, 5 } 、{ 1, 6, 7 }、{ 1, 8, 9 }.......
    { 2, 4, 6 }、 { 2, 5, 7 } 、{ 2, 8, 10 }、{ 2, 9, 11 }.......
    { 3, 4, 7 }、 { 3, 5, 6 } 、{ 3, 8, 11 }、{ 3, 9, 10 }.......
    { 4, 8, 12 }、{ 4, 9, 13 } .......
    { 5, 8, 13 }、{ 5, 9, 12 }.......
    { 6, 8, 14 }、{ 6, 9, 15 }.......
    { 7, 8, 15 }、{ 7, 9, 14 }.......
    誰都可以看出勝型將會是無限多!不可能全部背下來的。那麼真的要比誰的記憶力較好嗎?不!不! 當然不可去做如此無趣的事!
  • 還記得如果最大拿取數為定數 max 時,必須先轉換成餘數殘型才能加以判斷的事吧!只要我們將最大拿 取數設定在 10 個以下,由上文,我們可以發現:需要背下的勝型竟只有 { 1, 2, 3 }、 { 1, 4, 5 } 、 { 1, 6, 7 }、{ 1, 8, 9 } 、{ 2, 4, 6 }、 { 2, 5, 7 }、{ 3, 4, 7 }、 { 3, 5, 6 } 共計 8 個。 如果將最大拿取數設定在 4 個以下時,更是只剩 { 1, 2, 3 } 一個勝型了。所以真正 的玩家是根本不必拿出紙筆來計算的,只要將最大拿取數設限即可!而最容易使用心算來操作的最大拿 取數則是 4 ,因為任意數除以 5 的餘數都是一望可知的不是嗎?而且只要記{ 1, 2, 3 } 一個勝型即可。
  • 或許有人會懷疑:當堆數為三堆以上時,不用二進位法該如何判斷呢?只要使用減項法,不論有多少堆都 不是問題的。減項法的法則是這樣的:若 { a, b, c } 是勝型,則 { a, b } = { c }。以下試以 設最大拿取數= 4 的殘型 { 2, 6, 8, 9, 5, 7, 13, 45 } 來說明減項過程:
    操作過程說明
    { 2, 6, 8, 9, 5, 7, 13, 45 }起始狀態
    { 2, 1, 3, 4, 0, 2, 3, 0}餘數殘型
    { 2, 1, 3, 4, 2, 3}石子數為 0 的石堆可忽略
    { 3, 3, 4, 2, 3}{ 2, 1 } = { 3 }
    { 4, 2, 3}{ 3, 3 } = { 0 }
    { 4, 1}{ 2, 3 } = { 1 }
    所以原始殘型是輸型,只要從第四堆中取走 3 個石子,就可佔到勝型了。
  • 再舉一例,設最大拿取數= 9 的殘型 { 2, 6, 8, 9, 5, 7, 13, 45 } ,其減項過程如下:
    操作過程說明
    { 2, 6, 8, 9, 5, 7, 13, 45 }起始狀態
    { 2, 6, 8, 9, 5, 7, 3, 5}餘數殘型
    { 4, 8, 9, 5, 7, 3, 5}{ 2, 6 } = { 4 }
    { 4, 1, 5, 7, 3, 5}{ 8, 9 } = { 1 }
    { 5, 5, 7, 3, 5}{ 4, 1 } = { 5 }
    { 7, 3, 5}{ 5, 5 } = { 0 }
    { 4, 5}{ 3, 7 } = { 4 }
    所以原始殘型是輸型,只要從第八堆中取走 1 個石子,就可佔到勝型了。
二、「拿到最後一顆石子的人輸」之必勝秘訣
  • 在前面的討論中,都是針對「拿到最後一顆石子的人勝」來討論,如果遊戲的勝負改成「拿到最後一顆 石子的人輸」會有什麼不同呢?差別僅在最後關鍵一處:遊戲開始後,我們一樣要搶佔勝型,使對方只能留下輸型; 到了最後的某一時刻,對方留下來的輸型一定會出現一種特殊型態,即是,除某一堆石子的數量大於 1, 其他各堆均只有一個石子,這就是關鍵的時刻了,我們可能需將較多枚銅板這一列全部取光,或者拿到只 剩下一枚,決定採取那一種應手,完全看我們拿了之後,剩下的堆數是否為奇數。因為這時的每一堆均只 有一個石子。顯而易見的是,以後一人都只能取光一堆,也就是一個石子,所以拿到最後一顆石子的人的 一定是對方,於是我們就贏了。
  • 以下試舉一例說明,設最大拿取數= 4 的殘型( 拿到最後一顆石子的人輸 ) { 1, 6, 6, 5, 5, 11, 16, 14 } , 其減項過程如下:
    操作過程說明
    { 1, 6, 6, 5, 5, 11, 16, 14 }起始狀態
    { 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 4}餘數殘型
    { 1, 4 }{ 1, 1 } = { 0 }
    所以原始殘型是輸型,而我們為了留下奇數堆的 1 個石子,必須從第八堆中取走 4 個石子。
    1. 要特別注意的是:此後我們的取子一定仍要保持奇數堆的 1 個石子狀態,雖然那不一定是 真的 1 ,而是餘數的 1 ;如果不能維持這種狀態,有可能我們就要反勝為敗了。
    2. 例如:當我們佔到 { 1, 6, 6, 5, 5, 11, 16, 10 } 的勝型之後,對手在第二堆取走 3 個 石子,留下 { 1, 3, 6, 5, 5, 11, 16, 10 } 的殘型,其餘數殘型為 { 1, 3, 1, 0, 0, 1, 1, 0 } 為了保持奇數堆的 1 個石子狀態,我們應在第二堆中再拿取 2 個石子,千萬不可認 為 { 3, 3 } = { 0 } 而 { 0 } 是可以忽略的,而在第三堆中拿取 3 個石子, 造成 { 1, 3, 3, 0, 0, 1, 1, 0 } 的餘數殘型,因為這不是奇數堆的 1 個石子狀態, 所以此時對手只要將第一堆中的一個石子取光,他就佔到勝型而得勝了。
三、單堆遊戲之必勝秘訣
  • 雖然單堆遊戲的必勝秘訣已包含在前述討論中,但是在中小學中,這類的數數奪標遊戲卻是盛行不衰的, 而能夠掌握遊戲秘訣的小朋友實在很少,所以特別再提出來討論。
  • 假設我們要玩的數數奪標遊戲是「每次最多數 3 個數,數到 30 的人勝」誰該先拿才好?任何人多玩幾次都能發現 誰能數到 26 誰就能數到 30 而得勝,然後誰能數到 22 誰就能數到 26 而得勝,接下來該掌握的是 18, 14, 10, 6, 2。 所以先數的人只要先數到 2 就勝了。 其減項過程如下:
  • 再假設我們要玩的數數奪標遊戲是「每次最多數 5 個數,數到 35 的人勝」誰該先拿才好?任何人多玩幾次都能發現 誰能數到 29 誰就能數到 35 而得勝,然後誰能數到 23 誰就能數到 29 而得勝,接下來該掌握的是 17, 11, 5。 所以先數的人只要先數到 5 就勝了。 其減項過程如下:
  • 再假設我們要玩的數數奪標遊戲是「每次最多數 4 個數,數到 30 的人勝」誰該先拿才好?任何人多玩幾次都能發現 誰能數到 25 誰就能數到 30 而得勝,然後誰能數到 20 誰就能數到 25 而得勝,接下來該掌握的是 15, 10, 5。 但先數的人無論如何無法先數到 5 的,所以先數的人輸。
  • 由以上兩例,我們可以發現:我們要掌握的數目都是相差 ( 最大可數數字 + 1 ),而先手的人一開始必須先數到 的數字= 目標數 除以 ( 最大可數數字 + 1 ) 的餘數;如果餘數為 0 ,則先手必敗。
  • 請自行推演試試:「每次最多數 k 個數,數到 n 的人輸」,我們一樣可以發現:我們要掌握的數目都是 相差 ( 最大可數數字 + 1 ),而先手的人一開始必須先數到的數字= n 除以 ( 最大可數數字 + 1 ) 的餘數; 如果餘數為 0 ,則先手必敗。
結語
  • 拈有許多的變形,可以是單堆的,也可以是多堆的,可使用石子、棋子、牙籤等小物件,也可以純用數數, 可以堆成一堆來玩,也可以在棋盤上玩,但都有相同的獲勝法則。
  • 二進位法是最通用的法則,倒推法則適合小朋友的推理能力培養。
  • 加上最大拿取數的限制之後,勝型的數量會大幅縮減。最容易使用心算來操作的最大拿 取數則是 4 ,因為任意數除以 5 的餘數都是一望可知的,要記的勝型也僅剩 { 1, 2, 3 } 一個而已。
  • 「每次最多數 k 個數,數到 n 的人勝」這樣的單堆遊戲,先手的的人只要先數 n 除以 ( k + 1 ) 的餘數即可獲勝, 如果餘數為 0 ,表示先手必敗,隨意數即可。
  • 「每次最多數 k 個數,數到 n 的人輸」這樣的單堆遊戲,先手的的人只要先數 ( n - 1 ) 除以 ( k + 1 ) 的餘數 即可獲勝,如果餘數為 0 ,表示先手必敗,隨意數即可。
拈的再變形
  • 以上討論拈及其變形,只是在遊戲型態上做了部分修改,例如:用來玩拈的道具可以使用銅板、石頭、任意的小物件, 甚至不用任何道具,只用數數也可以玩;可以是由目標數遞減、也可以是向目標數遞增;可以是達到目標值的人 勝,也可以是達到目標值的人輸。但這些都不是重點,我們甚至可以改變取法的規定,最後取光時輸贏的規定。 不過本文因為篇幅的關係,無法針對這些變形遊戲進行討論,僅能列出遊戲玩法供有興趣的人參考研究!
  • 威氏遊戲是改變取法規定中的一個變形玩法。其玩法是「有兩堆銅板,兩人輪流從中拿取銅板,取的時候,可以在 任一列中取一枚或多枚銅板,或者同時在兩列取同樣枚數的銅板,直到最後將銅板取光的人贏。(當然也可以 相反的規定:最後將銅板取光的人輸)」如果你想讓這個遊戲更複雜一點,那麼請考慮石子堆數為兩堆、 三堆、四堆、......的情況吧!
  • 擦線遊戲是另外一種改變取法規定的變形玩法。其玩法是:「在一張紙上用?筆做出任意線段數條,( 如圖 3 ), 兩人輪流用橡皮擦擦去若干相連的小段,如此輪流擦線,最後一個擦線而再無線段留下的人勝(或敗)。」
    ( 圖 3 ) 擦線遊戲
  • 方形棋是另外一種改變取法規定的變形玩法。其玩法是:「將 16 個棋子排列成方形( 如圖 4 ),兩人輪流從 中拿取棋子,取子的時候,可以在任一行或列中取一枚或多枚棋子,但所取的子必須為同一直線上相連的棋子, 直到最後將棋子取光的人贏。(當然也可以相反的規定:最後將棋子取光的人輸)」如果你想讓這個遊戲更複 雜一點,那麼請考慮每邊的棋子個數為五個、六個、七個、......的情況吧!
    ( 圖 4 ) 方形棋
    如果對方形的排列不滿意,那麼就把棋子排成三角形,變成三角棋來玩吧:「將 15 個棋子排列成 三角形( 如圖 5 ),兩人輪流從中拿取棋子,取子的時候,可以是一枚或多枚棋子,但所取的子必須為同一 直線上相連的棋子,最後將棋子取光的人贏。(當然也可以相反的規定:最後將棋子取光的人輸)」
    ( 圖 5 ) 三角棋
  • 有一種利用骰子來決定拿取數字的變形玩法是這樣的:「有一堆石頭,數目不拘。首先任意擲一骰子,看出 現幾點,就取去幾個石頭。然後兩人輪流翻轉骰子到前次骰子出現那一面的旁邊四面中任一面,但不可以 翻到對面,也不可以不翻,翻到幾點,就取去幾個石頭,如此輪流玩到一方沒有辦法拿石頭,也就是說, 剩下的石頭數比他翻到的數目還小的時候,則他就算輸了。」如果你覺得一個骰子不夠刺激,那麼請把 骰子增加到兩個、三個、.....。
  • 有一種利用撲克牌的變形玩法是這樣的:「使用一副撲克牌的 1∼5 號牌,兩人輪流選取一張牌加入累計數, 當所選取的牌加入累計值後,其和大於 30 的人勝( 或敗 )。」由於一副牌中的某一個數字牌只有四張, 也就是該數字最多只能被使用四次,所以其獲勝法則和拈是不太一樣的!你也可以考慮只使用 2 個顏色 的數字牌、三個顏色的數字牌.....;使用 6、7、8. ....以下的數字牌等等來變化。
  • 雙倍遊戲是另一種變形玩法,這個遊戲和上述的骰子遊戲有一共同的特性:每次所拿石頭的個數受上次對 方所拿石頭的個數影響:「兩人輪流在一堆石子中拿取石子,每人每次至少取 1 個石頭,至多取上次對 方所拿石頭數目的兩倍;最後拿光石頭的人贏得此遊戲。」當然,第一個人不能第一次就取光所有石頭。 我們還可以將兩倍推演到三倍、四倍、五倍......。
  • 「奇偶遊戲」是修改最後取光石頭時輸贏規定的變形玩法:例如「兩人輪流取一堆石頭,每人每次最少取 1 個, 最多取 3 個,到最後石頭被取光時,若手中所有石頭總數為奇數,則此人贏得此遊戲。(也可以規定 石頭總數為偶數的人贏得此遊戲)。」顯而易見的是,原先這堆石頭的總數要是奇數才有意義。
 
 
 
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