易位棋之智巧

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遊戲介紹
  • 易位棋是一個單人進行的益智數學遊戲,在移位遊戲中算是最簡單的一種,但核心問題同樣是怎樣使行子 的次數減低到最少,而能夠達成遊戲的任務。
  • 遊戲所用的棋盤如圖 1 所示:
    ( 圖 1 ) 每邊兩個棋子的易位棋
    為了增加畫面的色彩,在電腦的遊戲中,棋子是採用紅、綠兩色的圓形棋子;如果不在電腦中進行本遊戲時, 只要隨便取得一張白紙或直接使用地面畫上格子後,用不同顏色或不同大小、形狀的石子、棋子、小物件等來 代替棋子,都可以用來進行本遊戲。
  • 圖 1 中所使用的棋子數是不同的棋子各兩個,如果要增加難度,可以將棋子的數量增加,例如:不同的棋子各 3 個、各 4 個、.......等。棋子的數量愈多,達成任務所需的行子次數就愈多。
  • 不論使用多少個棋子,遊戲開始時的盤面都是先把不同的棋子分置左右兩邊作直線排列,中間則是一個空位。
  • 行棋時的行子方法有二:
    1. 移法:緊臨空格旁邊的棋子可以直接進入空格中,稱為移法。
    2. 跳法:當緊臨的一子旁就是空格時,可跳過一子進入空格,稱為跳法。
    ( 圖 2 ) 行棋的兩種行子方法示意圖
  • 遊戲者的任務是利用上述兩種行子方法,將左邊的綠色棋子全部搬到右邊、右邊的紅色棋子則全部搬到左邊, 空格一樣要保持在中央。
  • 當棋子的數量較少時,例如左右兩邊各只有兩個棋子時,任何人都可在短時間的嘗試之後輕易的達成任務, 但重要的是:達成任務的行子次數是否為最少次數?
  • 當棋子的數量較多時,例如左右兩邊各有七個棋子,如果不是已歸納出行子的規律,就不再能輕易的達成任務了, 更別提達成任務的行子次數是否為最少次數啦!
  • 好! 如果不看下面的分析,你能找出易位棋行子的規律、對於不同數量的棋子所需的最少行子次數嗎?試試!
遊戲記錄
  • 圖 3 展示了每邊兩個棋子時,易位棋的最少次數行子過程:
    圖示說明
    起始狀態
    將第二格上的棋子以右移法移到空格
    將第四格上的棋子以左跳法跳到空格
    將第五格上的棋子以左移法移到空格
    將第三格上的棋子以右跳法跳到空格
    將第一格上的棋子以右跳法跳到空格
    將第二格上的棋子以左移法移到空格
    將第四格上的棋子以左跳法跳到空格
    將第三格上的棋子以右移法移到空格
    完成任務了!
    ( 圖 3 ) 每邊兩個棋子時,易位棋的最少次數行子過程
  • 要將圖 3 的行子過程記錄下來有很多種方法,以下是其中通用的二者:
    1. 第一種是以行子的棋位為主體的記錄方法,這是最直接簡單的表示法了。以圖 3 的行子過程為例,可記錄如下:
      2, 4, 5, 3, 1, 2, 4, 3
    2. 第二種是以盤面狀態為主體的記錄方法,記錄了每一次行子之後的盤面狀態,假如以 1 代表綠棋、 2 代表紅棋、0 表示空格。則圖 3 的行子過程可記錄如下:
      11022, 10122, 12102, 12120, 12021, 02121, 20121, 22101, 22011
  • 由於本文不僅要展示解法,還希望歸納出解題的策略,使用第一種以行子的棋位為主體的記錄方法, 並無法看出其規律性,所以雖然麻煩,本文還是會使用以盤面狀態為主體的記錄方法。
策略分析
  • 以下是每邊 5 個棋子以下時,最少步驟的行子過程記錄:
    每邊的棋子數行子記錄總行子次數
    1102, 012, 210, 2013
    211022, 10122, 12102, 12120, 12021, 02121, 20121, 22101, 220118
    31110222, 1101222, 1121022, 1121202, 1120212, 1021212, 0121212, 2101212, 2121012, 2121210, 2121201, 2120211, 2021211, 2201211, 2221011, 2220111 15
    4111102222, 111012222, 111210222, 111212022, 111202122, 110212122, 101212122, 121012122, 121210122, 121212102, 121212120, 121212021, 121202121, 120212121, 021212121, 201212121, 221012121, 221210121, 221212101, 221212011, 221202111, 220212111, 222012111, 222210111, 222201111 24
    511111022222, 11110122222, 11112102222, 11112120222, 11112021222, 11102121222, 11012121222, 11210121222, 11212101222, 11212121022, 11212121202, 11212120212, 11212021212, 11202121212, 10212121212, 01212121212, 21012121212, 21210121212, 21212101212, 21212121012, 21212121210, 21212121201, 21212120211, 21212021211, 21202121211, 20212121211, 22012121211, 22210121211, 22212101211, 22212121011, 22212120111, 22212021111, 22202121111, 22220121111, 22222101111, 2222201111135
    ( 圖 4 ) 每邊 5 個棋子以下時最少步驟的行子過程
    註:以上的行子過程都是先動綠棋,事實上也可以先動紅棋,並以同法反方向解題
  • 首先來看對應於每邊棋子數所需的最少行子次數是否有規律可尋,我們可以發現那是肯定的:
    每邊的棋子數總行子次數規律 1規律 2
    1322- 11 X 3
    2832- 12 X 4
    31542- 13 X 5
    42452- 14 X 6
    53562- 15 X 7
    ( 圖 5 ) 最少行子次數的規律
    由圖 5 ,我們可以發現對應於每邊棋子數 n 所需的最少行子次數= (n+1)2- 1 或 n X ( n + 2 )
  • 接下來要探討這個遊戲的行子過程是否有一定的規律,由尋找最少次數的行子過程中,我們可以發現 以下幾個現象:
    1. 雖然遊戲的行子方法並沒有限制棋子行子的方向,但是在最少次數的行子過程中,綠棋 ( 左邊的棋子 ) 都只向右邊行子,紅棋 ( 右邊的棋子 ) 則都只向左邊行子;如果棋子有往回移的動作,則該局的 行子次數就必定不是最少。
    2. 如果棋子行子的方向還有其他不同顏色的棋子,則會造成己色棋子相連達二子以上的行子,將使該局 的行子次數不會是最少的。例:當盤面為 21202121211 時,位於第五個位置的紅棋絕不可向左移而造成 21220121211 的局面,因為此紅棋行子方向的前方還有一個綠棋,所以如此行子造成兩個紅棋緊鄰的情況後, 將會使行子的次數增多;但在盤面為 20212121211 時,位於第三個位置的紅棋可以向左移成 22012121211, 接下來第五個位置的紅棋也可以向左跳成 22210121211,因為他們行子方向的前方已沒有綠棋存在了, 所以可以忽視己色棋子相連達二子以上的禁忌。
    3. 在上述兩個條件下,每次同色棋子的行子都要儘可能的行子,直到已無法行子了,才更換另一種顏色的棋子行子。 例如:當盤面為 11112120222 時,先是第六個位置的綠棋向右跳成 11112021222,接下來第四個位置的綠棋 還可以向右跳,所以要先跳而形成了 11102121222,然後第三個位置的紅棋還可以右移,所以仍是要先移, 讓盤面形成 11012121222,此時綠棋在上述兩條件的規範下,已找不到可以右移的棋子了,這時才需要考慮更換 紅棋去行子。
    4. 我們可將整個的行子過程大分為兩個時期,其棋子的分佈情形及行子特徵描述如下:
      期別棋子的分佈行子特徵舉例
      1由不同顏色的棋子分別集中於左右兩邊到不同顏色的棋子交錯排列 當可以使用跳法時,先使用跳法;直到不能跳後,如果還有棋子可使用移法,則移之,然後更換另一個顏色的棋子繼續依本法行子 以每邊 5 個棋子為例:開局後到 21212121210 止即是(當後動一方的最後一顆棋子跳動之後此時期結束)
      2由不同顏色的棋子交錯排列到不同顏色的棋子再度分別集中於左右兩邊(位置和開局時相反) 先使用移法一次,然後如果還有棋子可使用跳法時,則跳之,直到不能跳時才更換另一個顏色的棋子繼續依本法行子 以每邊 5 個棋子為例:從 21212121210 後到完成任務止即是
      ( 圖 6 ) 行子過程的兩個時期
      如果能掌握以上兩個時期的行子特徵,不論是在每邊有多少個棋子的棋局中,整個行子的過程都可以想都不必想, 如行雲流水般很快的就達成任務了
  • 最後我們再來看一個有趣的規律,下表是以 - 表示移法(不管左移右移都如此記錄)、以 ^ 表示跳法(不管左跳右跳都如此記錄)時, 採用以上所述的最少次數移法之行子過程記錄:
    每邊的棋子數行子過程移法總數跳法總數
    1- ^ -21
    2- ^ - ^ ^ - ^ -41+2+1=4
    3- ^ - ^ ^ - ^ ^ ^ - ^ ^ - ^ -61+2+3+2+1=9
    4- ^ - ^ ^ - ^ ^ ^ - ^ ^ ^ ^ - ^ ^ ^ - ^ ^ - ^ -81+2+3+4+3+2+1=16
    5- ^ - ^ ^ - ^ ^ ^ - ^ ^ ^ ^ _ ^ ^ ^ ^ ^ - ^ ^ ^ ^ - ^ ^ ^ - ^ ^ - ^ -101+2+3+4+5+4+3+2+1=25
    ( 圖 7 ) 最少行子次數的規律
    1. 移法總數恰為每邊棋子數的兩倍,即 2 X n。
    2. 跳法總數恰為每邊棋子數的平方,即 2 X ( 1+2+3+....+(n-1) )+ n = n X (n - 1) + n= n X n
    3. 所以移動最少步數= 2 X n + n X n = n X (n+2)
結論
  • 本遊戲對應於每邊棋子數 n 所需的最少行子次數= (n+1)2- 1 或 n X ( n + 2 )。
  • 本遊戲行子的過程有下列規律:
    1. 從開局到後動一方的最後一顆棋子跳動之後的第一階段之行子規律:當可以使用跳法時,先使用跳法; 直到不能跳後,如果還有棋子可使用移法,則移之,然後更換另一個顏色的棋子繼續依本法行子
    2. 接續第一階段直到完成任務為止的第二階段之行子規律:先使用移法一次,然後如果還有棋子可使用 跳法時,則跳之,直到不能跳時才更換另一個顏色的棋子繼續依本法行子。
  • 這個遊戲雖然十分的簡單,但卻是訓練兒童歸納推理能力的好素材。兒童可藉著找出對應於每邊棋子數所需的 最少行子次數及行子規律的過程,學習到歸納推理的方法,所以是值得推介給小朋友的益智數學遊戲。
 
 
 
本網頁建置日期:92.10.22 | 最近更新日期:92.10.22  | 回上頁 | 回首頁 |