易序棋之智巧

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遊戲介紹
  • 易序棋是一個單人進行的益智遊戲,和易位遊戲相比,這個遊戲相對的複雜多了,也更為有趣,但核心問題 同樣是怎樣使行子的次數減低到最少,而能夠達成遊戲的任務。
  • 遊戲所用的棋盤如圖 1 所示:
    ( 圖 1 ) 四個棋子的易序棋
    在這個電腦的易序遊戲中,棋子是採用具有序號的紅色圓形棋子;如果不在這個電腦程式中進行本遊戲時, 只要隨便取得一張白紙或直接使用地面畫上格子後,用任何具有順序性的小物件,例如象棋子、撲克牌等來 代替棋子,都可以用來進行本遊戲。
  • 圖 1 中所使用的棋子數是四個,如果要增加難度,可以將棋子的數量增加,例如:5 個、6 個、.......等。 棋子的數量愈多,達成任務所需的行子次數就愈多。
  • 不論使用多少個棋子,遊戲開始時的盤面都是先把棋子依序號的大小由小而大作直線排列,最右邊則是一個空位。 (當然也可以將空格放在左邊,或者先由大而小排列等,請自行同理類推)
  • 行棋時的行子方法有二:
    1. 移法:緊臨空格旁邊的棋子可以直接進入空格中,稱為移法。
    2. 跳法:當緊臨的一子旁就是空格時,可跳過一子進入空格,稱為跳法。
    ( 圖 2 ) 行棋的兩種行子方法示意圖
  • 遊戲者的任務是利用上述兩種行子方法,將由小而大排列的棋子變換順序成由大而小的排列, 空格的位置只要在兩端即可,不限定非在左右的某一端不可。
  • 當棋子的數量較少時,例如只有兩個、三個棋子時,任何人都可在短時間的嘗試之後輕易的達成任務, 但重要的是:達成任務的行子次數是否為最少次數?
  • 當棋子的數量較多時,例如棋子數為七個、八個時,如果不是已歸納出行子的規律,就不再能輕易的達成任務了, 更別提達成任務的行子次數是否為最少次數啦!
  • 好! 如果不看下面的分析,你能找出易序棋行子的規律、對於不同數量的棋子所需的最少行子次數嗎?試試!
遊戲記錄
  • 圖 3 展示了棋子數為 4 時,易序棋的最少次數行子過程:
    圖示說明
    起始狀態
    將第 3 號棋子以右跳法跳到空格
    將第 1 號棋子以右跳法跳到空格
    將第 2 號棋子以左移法移到空格
    將第 4 號棋子以左跳法跳到空格
    將第 3 號棋子以左移法移到空格
    將第 1 號棋子以右跳法跳到空格
    將第 2 號棋子以右跳法跳到空格
    將第 4 號棋子以左移法移到空格
    將第 3 號棋子以左跳法跳到空格
    將第 1 號棋子以左移法移到空格
    完成任務了!
    ( 圖 3 ) 每邊兩個棋子時,易序棋的最少次數行子過程
  • 要將圖 3 的行子過程記錄下來有很多種方法,以下是其中通用的三者:
    1. 第一種是以行子時的棋子編號為主體的記錄方法,這是最直接簡單的表示法了。以圖 3 的行子過程為例,可記錄如下:
      3, 1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1
    2. 第二種是以行子時的棋位為主體的記錄方法,同樣的十分簡單明瞭。以圖 3 的行子過程為例,可記錄如下:
      3, 1, 2, 4, 5, 3, 1, 2, 4, 5
    3. 第三種是以盤面狀態為主體的記錄方法,記錄了每一次行子之後的盤面狀態,假如以 0 表示空格、其餘各棋子 則以其編號來代表,則圖 3 的行子過程可記錄如下:
      12340, 12043, 02143, 20143, 24103, 24130, 24031, 04231, 40231, 43201, 43210
  • 由於本文不僅要展示解法,還希望歸納出解題的策略,使用第一種以行子時的棋子編號為主體的記錄方法, 雖然已相當有規律性,但仍有許多資訊無法從中取得,所以雖然麻煩,本文仍將以盤面狀態為主體的記錄方法一併列出。
策略分析
  • 以下是每邊 6 個棋子以下時,最少步驟的行子過程記錄,行子記錄 1 是以行子時的棋子編號為主體的記錄 ,行子記錄 2 是以盤面狀態為主體的記錄。除了兩個棋子時只有一個最佳解法之外,其餘棋子數 都有兩個以上的最佳解法,在表列中也都一併列出:
    棋子數行子記錄1行子記錄2總行子次數
    21 120, 0211
    32, 1, 3, 1, 2 1230, 1032, 0132, 3102, 3012, 32105
    2, 3, 1, 3, 2 1230, 1032, 1302, 0312, 3012, 3210
    43, 1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1 12340, 12043, 02143, 20143, 24103, 24130, 24031, 04231, 40231, 43201, 4321010
    3, 2, 4, 3, 2, 1, 4, 3, 1, 2 12340, 12043, 10243, 14203, 14230, 14032, 04132, 40132, 43102, 43012, 43210
    3, 4, 2, 1, 4, 3, 2, 1, 3, 2 12340, 12043, 12403, 10423, 01423, 41023, 41320, 41302, 40312, 43012, 43210
    4, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 3, 4, 2 12340, 12304, 10324, 01324, 31024, 31420, 31402, 30412, 03412, 43012, 43210
    54, 2, 1, 3, 5, 4, 2, 1, 3, 5, 4, 2, 1, 3, 5 123450, 123054, 103254, 013254, 310254, 315204, 315240, 315042, 305142, 035142, 530142, 534102, 534120, 534021, 504321, 05432115
    5, 3, 1, 2, 4, 5, 3, 1, 2, 4, 5, 3, 1, 2, 4 123450, 123405, 120435, 021435, 201435, 241035, 241530, 241503, 240513, 042513, 402513, 452013, 452310, 452301, 450321, 054321
    65, 3, 1, 2, 4, 6, 5, 3, 1, 2, 4, 6, 5, 3, 1, 2, 4, 6, 5, 3, 1 1234560, 1234065, 1204365, 0214365, 2014365, 2410365, 2416305, 2416350, 2416053, 2406153, 0426153, 4026153, 4620153, 4625103, 4625130, 4625031, 4605231, 0645231, 6045231, 6540231, 6543201, 654321021
    5, 3, 2, 4, 6, 5, 3, 2, 1, 4, 6, 5, 3, 2, 1, 4, 6, 5, 3, 1, 2 1234560, 1234065, 1204365, 1024365, 1420365, 1426305, 1426350, 1426053, 1406253, 0416253, 4016253, 4610253, 4615203, 4615230, 4615032, 4605132, 0645132, 6045132, 6540132, 6543102, 6543012, 6543210
    5, 6, 4, 2, 1, 3, 6, 5, 4, 2, 1, 3, 6, 5, 4, 2, 1, 3, 5, 4, 2 1234560, 1234065, 1234605, 1230645, 1032645, 0132645, 3102645, 3162045, 3162540, 3162504, 3160524, 3061524, 0361524, 6301524, 6351024, 6351420, 6351402, 6350412, 6053412, 6503412, 6543012, 6543210
    6, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 4, 2 1234560, 1234506, 1230546, 1032546, 0132546, 3102546, 3152046, 3152640, 3152604, 3150624, 3051624, 0351624, 5301624, 5361024, 5361420, 5361402, 5360412, 5063412, 0563412, 6503412, 6543012, 6543210
    ( 圖 4 ) 5 個棋子以下時最少步驟的行子過程
  • 首先來看對應於盤面棋子數所需的最少行子次數是否有規律可尋,我們可以發現那是肯定的:
    盤面棋子數總行子次數規律
    21.
    35.
    4101+ 2 + 3 + 4
    5151+ 2 + 3 + 4+ 5
    6211+ 2 + 3 + 4+ 5+ 6
    ( 圖 5 ) 最少行子次數的規律
    由圖 5 ,我們可以發現:除了棋子數為 2 及 3 時之外,對應於盤面棋子數 n 所需的最少行子 次數= 1+ 2 + .....+ n 或 n(n+1)/2 。為什麼棋子數為 2 及 3 時會例外呢?由總行子次數是看不出來的, 目前暫且不要理他,等探討完行子的規律自然可以明白了。
  • 接下來要探討這個遊戲的行子過程是否有一定的規律,由尋找最少次數的行子過程中,我們可以發現 以下現象:
    1. 最少次數的最佳移法並非唯一,在棋子數大於 2 的情形中,當棋子數為偶數時,至少有四種最佳的行子規律, 當棋子數為奇數時,則至少有兩種最佳的行子規律。
    不論是哪一種最佳行子規律,除了少數的特定行子外,大抵均遵照下列兩個行子準則來操作:
    1. 方向準則:行子時每個方向的行子都要儘可能的進行,直到已無法行子了,才更換另一個方向來進行。
    2. 移動準則:儘可能的使用跳法來行子,直到無法再跳時才使用一次移法,隨後再恢復跳法繼續行子。
  • 以下是尤怪歸納出來的四個行子規律:
    一、先跳法:
    1. 開局時先使用跳法,然後即依方向、移動準則不斷的行子,直到達成任務為止。
    2. 此法若以行子時的棋子編號為主體的記錄方式記錄,會有如下的規律:
      當棋子數為偶數時:n-1, n-3, .....3, 1, 2, 4, ..... n-2, n (循環 n/2 次).....,n-1, n-3, .....3, 1
      當棋子數為奇數時:n-1, n-3, .....4, 2, 1, 3, ..... n-2, n (循環 (n+1)/2 次)
    3. 當棋子數為偶數時,達成任務時的空格會在右端;
      當棋子數為奇數時,達成任務時的空格會在左端。
    4. 以此法行子而達成任務所需的行子次數,對於任意的棋子數 n 皆需 n(n+1)/2 次。
    5. 當棋子數為 2 時,以此法行子會造成例外狀況,僅一跳即完成任務,但是完成任務後空格是在左端。 若要和其他偶數一樣處於右端,則所需次數仍是 3 次,即 n(n+1)/2 次。
    6. 當棋子數為 3 時需行子 6 次,並非最少次數的最佳移法,但除此皆為最少次數的最佳移法之一。
    二、先移法:
    1. 開局時先使用移法一次,然後即依方向、移動準則不斷的行子,直到達成任務為止。
    2. 此法若以行子時的棋子編號為主體的記錄方式記錄,會有如下的規律:
      當棋子數為偶數時:n, n-2, .....4, 2, 1, 3, ..... n-3, n-1 (循環 n/2 次).....,n, n-2, .....4, 2
      當棋子數為奇數時:n, n-2, .....3, 1, 2, 4,..... n-3, n-1 (循環 (n+1)/2 次)
    3. 當棋子數為偶數時,達成任務時的空格會在右端;
      當棋子數為奇數時,達成任務時的空格會在左端。
    4. 以此法行子而達成任務所需的行子次數,對於任意的棋子數 n 皆需 n(n+1)/2 次。 其中棋子數為 2 時需 3 次、棋子數為 3 時需行子 6 次,並非最少次數的最佳移法,但除此皆 為最少次數的最佳移法之一。
    三、一跳反向移法:
    1. 此法僅能適用於棋子數為 3 或 偶數的情形。
    2. 開局時先使用跳法一次,然後反方向以移法移動編號為 n 的棋子,接下來再反方向依方向、移動準則 不斷的行子,但當編號 n 的棋子到達左端的位置,並輪到由其行子時,不可再加以移動, 應改由編號 n-1 的棋子起,仍依方向、移動準則不斷的行子,直到達成任務為止。
    3. 此法若以行子時的棋子編號為主體的記錄方式記錄,會有如下的規律:
      當棋子數為偶數時:n-1, n, n-2,.....4, 2, 1, 3, ..... n-3, [ n, n-1, n-2, n-4, ......, 4, 2, 1, 3, ..... n-3(循環 n/2 -1 次)]...,n-1, n-2, .....4, 2
      當棋子數為 3 時: 2, 3, 1, 3, 2
    4. 達成任務時,空格全部會在右端。
    5. 以此法行子而達成任務所需的行子次數,對於任意的棋子數 n ,當 n=3 時,所需次數為 5; 當 n > 2 且為偶數時皆需 n(n+1)/2 次。雖然都是該棋子數中最少次數的最佳移法之一。但因 稍顯複雜且在棋子數大於 3 的奇數中,本法並不能有效的達成任務,所以並不好用。
    四、跳末同向移法:
    1. 此法僅能適用於棋子數為 3 或 偶數的情形。
    2. 開局後先使用跳法行子,直到左端尚餘 1 或 2 子時改用同方向的移法,然後反方向依方向、移動準則 不斷的行子,直到所有棋子皆已依序排好,僅餘編號 1 及 2 的棋子並形成 102 的情形下,以 012, 210 的走法來達成任務。
    3. 此法若以行子時的棋子編號為主體的記錄方式記錄,會有如下的規律:
      當棋子數為偶數時:n-1, n-3,.....5, 3, 2, [4, ..... n-2, n, n-1, n-3, ...5, 3, 2, 1] (循環 n/2 -1 次)]4, ..... n-2, n, n-1, n-3, ...5, 3, 1, 2
      當棋子數為 3 時: 2, 1, 3, 1, 2
    4. 達成任務時,空格全部會在右端。
    5. 以此法行子而達成任務所需的行子次數,對於任意的棋子數 n ,當 n=3 時,所需次數為 5; 當 n > 2 且為偶數時皆需 n(n+1)/2 次。雖然都是該棋子數中最少次數的最佳移法之一。但因 稍顯複雜且在棋子數大於 3 的奇數中,本法並不能有效的達成任務,所以並不好用。
結論
  • 本遊戲對應於每邊棋子數 n 所需的最少行子次數= (n+1)2- 1 或 n X ( n + 2 )。
  • 本遊戲行子過程中最少次數的最佳移法必為下列四種行子規律之一:
    1. 先跳法:在棋子數不等於 3 時均為最少次數的最佳移法之一。
    2. 先移法:在棋子數大於 3 時均為最少次數的最佳移法之一。
    3. 一跳反向移法:在棋子數為 3 及偶數時均為最少次數的最佳移法之一。
    4. 跳末同向移法:在棋子數為 3 及偶數時均為最少次數的最佳移法之一。
  • 以上兩項結論在棋子數為 6 以下時,均經尤怪以電腦程式驗証無誤,推斷棋子數在 7 以上時也是正確的!
  • 這個遊戲比之易位棋相對的複雜許多,是訓練兒童歸納推理能力的進階素材。兒童可藉著找出對應於棋子數所需的 最少行子次數及行子規律的過程,學習到歸納推理、例外排除等方法,是值得推介給小朋友的益智數學遊戲。
 
 
 
本網頁建置日期:92.10.31 | 最近更新日期:92.10.31  | 回上頁 | 回首頁 |