搶救烏龜大作戰詳解

| 遊戲介紹 | 遊戲記錄 | 策略分析 | 結論 |
遊戲介紹
  • 搶救烏龜大作戰是一個單人進行的益智數學遊戲,在一般的數學書籍中叫做翻幣遊戲。在每次翻轉錢幣時,翻轉的 數量被限制的情況下,遊戲者的任務是使翻轉的次數減低到最少,而能夠將所有的錢幣全部翻面。 本遊戲以烏龜代替錢幣,賦予遊戲者進行翻轉任務的動機,同時使畫面更為生動活潑,但本質上和翻幣遊戲是 完全相同的遊戲。
  • 本遊戲被設計為過關得分的排行搒遊戲:遊戲者在每一次搶救烏龜的任務中,都有配合任務難度的時間限制, 在此時間限制內必須將所有的烏龜全部翻成正面,完成搶救的任務,而剩餘的時間就會轉換成遊戲者的得分。 如果所用的時間越少,意即所得的分數相對的就越高;而所用的時間越多,意即所得的分數相對的就越低, 如果在限時內未能完成全部翻面的任務,遊戲就會結束,並將遊戲者所得到的分數傳送到伺服器中,以進行 分數排行的工作。
  • 本遊戲的伺服器中將保留前 50 名最高分者的資料。當遊戲者的得分資料傳到伺服器時, 伺服器的排名程式會將遊戲者的得分和保留的資料作比較,如果得分可以排入排行榜中,則排行榜將重新排序 並傳回所獲名次,如果無法排入排行榜中,也會傳回無法列名的訊息。
  • 因為有此排行存檔的功能,所以遊戲啟始前遊戲者必須先輸入姓名(暱稱)以進行登入的動作。不過這個輸入的 工作只要在第一次遊戲時進行一次即可,在結束遊戲前的每一次挑戰都不必再輸入,甚至結束遊戲後,下一次 再啟始遊戲時,電腦也將記得你的姓名,將之顯示在姓名欄中,如果你不想更改原有的稱呼,那麼只要直接 按下登入按鍵即可。
  • 如果遊戲者的使用環境能連上網際網路,上述傳送得分及回傳排行榜的動作才能正常運作,但本遊戲在沒有 連網能力的環境下一樣可操作,僅排行榜功能失效而已!
  • 遊戲時的畫面如圖 1 所示:
    ( 圖 1 ) 搶救烏龜大作戰的遊戲畫面
    如前所述,為了增加遊戲的趣味性,在電腦中是以搶救烏龜的方式來進行;如果不在電腦中進行本遊戲時, 只要隨便取用一些可辨識正反兩面的物件,如錢幣、棋子、紙牌等等來代替,就可以用來進行本遊戲。
  • 遊戲開始後的每一個搶救任務(每一關),電腦都會給予不同數量的烏龜,這些烏龜全都會被翻成四腳朝天狀; 然後還會指定一個待翻數,遊戲者必須點、框選指定數量(即待翻數)的烏龜後, 才可以將所選擇的烏龜進行翻轉。 當所選擇的數量未達待翻數時,翻轉烏龜的按鈕並不會出現;如果選擇的烏龜已達到待翻數後,還去點選 未被選擇的烏龜時,將會出現「選太多了」的錯誤訊息。如果遊戲者的點選已達待翻數後,想更換不同的烏龜, 必須先點選一次想被更換掉的烏龜,以取消被選狀態,降低點選數,然後才可去選擇其他要更換的烏龜。
  • 遊戲者選擇或取消烏龜時的點選是指「將滑鼠指標移到目標烏龜上按一下左鍵」。框選則是「用滑鼠在遊戲 盤中畫一個可圍起所選烏龜的方框」,其方法是先將滑鼠指標移到方框的一個角落並按住左鍵不放,然後 拖拉滑鼠指標到達另一個相對的角落並放開左鍵即可。
  • 遊戲一開始的任務難度不高,但隨著關數的增加,完成任務的難度將隨之增加,雖然明知一定有解,但如果 不是已歸納出翻轉的規律,就不再能輕易的達成任務了,有時翻來翻去,就是在某些數字上打轉,而無法達 成任務。這時千萬不可煩燥不安,一定要冷靜以對,細細思考並記錄,相信必可突破難關,向更高關卡邁進。
  • 好! 如果不看下面的遊戲分析及歸納,你能找出搶救烏龜的最佳翻轉策略嗎?試試!
遊戲記錄
  • 圖 2 展示了待翻數為 5 時,將總數為 7 的烏龜全部翻轉的最佳路徑(使用最少次數完成翻轉的過程):
    圖示說明
    起始狀態, 7 隻烏龜都是正面朝上。
    任選 5 隻烏龜翻轉,形成 5 隻朝下、2 隻朝上。
    任選 4 隻朝下、1 隻朝上的烏龜翻轉,形成 2 隻朝下、5 隻朝上。
    將 5 隻朝上的烏龜翻轉,形成所有的 7 隻烏龜全部朝下的情形。恭喜,過關了!
    ( 圖 2 ) 在每次翻轉數為 5 時,將總數為 7 的烏龜全部翻轉的最佳路徑
  • 要將圖 2 的最佳路徑記錄下來有很多種方法,以下是其中最常見的兩種:
    1. 第一種是以被翻轉的烏龜數為主體的記錄方法。以圖 2 的最佳路徑為例,可記錄如下:
      [5,0](翻轉朝上者5) → [1,4](翻轉朝上者1 朝下者4) → [5,0](翻轉朝上者5)
    2. 第二種是以烏龜狀態為主體的記錄方法,記錄了每一次翻轉之後的烏龜狀態,以圖 2 的最佳路徑為例, 可記錄如下:
      {7,0}(啟始狀態,朝上者7) → {2,5}(翻轉後,朝上者2 朝下者5) → {5,2}(翻轉後,朝上者5 朝下者2) → {0,7}(翻轉後,朝下者7)
  • 使用第一種以被翻轉的烏龜數為主體的記錄方法,雖然可將每次應翻轉何種狀態的烏龜及數量記錄得十分清楚, 但是對每一次翻轉之後的烏龜狀態卻無法顯示,所以在追縱其翻法時,對使用者的翻法雖一目瞭然,但對目前的 烏龜狀態及數量無法掌握,所以對為何要採用此種翻轉策略,比較無法了解。
  • 使用第二種以烏龜狀態為主體的記錄方法,雖然可掌握目前的烏龜狀態,但並無法直接看出被翻轉的烏龜狀態及數量。
  • 尤怪在本文中要使用的記錄方法是比較特殊的方式,它結合了前二者的記錄項目,但又加以簡化,所以呈現出來的 記錄型式十分簡精經濟。以圖 2 的最佳路徑而言,記錄如下:
    7(-5)2(+3)5(-5)0
    上式說明如下:啟始時朝上的烏龜有 7 ,(因總數為 7 ,所以朝上者 0 )
    將其朝上的烏龜數 -5,使其數量變成 2,(因待翻數為 5 ,即將 5 隻朝上的烏龜翻轉,成 2 上 5 下)
    將其朝上的烏龜數 +3,使其數量變成 5,(即將 1 隻朝上、4 隻朝下的烏龜翻轉,成 5 上 2 下)
    將其朝上的烏龜數 -5,使其數量變成 0,(即將 5 隻朝上的烏龜翻轉,成全部朝下,任務完成。)
  • 為何要用上述的記錄方法呢?它具有下列的優點:
    1. 遊戲的條件一目瞭然,因前兩個值即遊戲啟始時的烏龜總數及待轉數。
    2. 可節省大量篇幅:當烏龜總數已知時,只要知道朝上的數值,朝下的數量十分易求,所以只 記錄朝上數即可。同理,只要知道待翻數,由朝上烏龜數量的 增減值也不難推出被翻轉烏龜的狀態及數量。
    3. 記錄每次應翻轉何種狀態的烏龜及數量,例:[1,4](翻轉朝上者1 朝下者4)對目前烏龜狀態及數量的影響及改變,遠不如 直接標示增減值來得清楚,而且增減值在本遊戲中是有相當意義及規律存在的。讀者看完後面的分析可知曉!
    4. 當待翻數為奇數時,增減值必為奇數;當待翻數為偶數時,增減值必為偶數。而且在待翻數確定後, 不同的翻轉方式將對應唯一的增減值。
      以待翻數 5 為例:[5,0]時(翻轉朝上者5)增減值為 -5。
      [4,1]時(翻轉朝上者4 朝下者1)增減值為 -3。
      [3,2]時增減值為 -1、[2,3]時增減值為 +1、[1,4]時增減值為 +3、[0,5]時增減值為 +5。
      其餘(包含待翻數為偶數時)請類推..........。
策略分析
  • 只要玩過本遊戲,讀者應可查覺以下事項:
    1. 如果烏龜總數不大於待翻數,此命題是無意義的。
    2. 「點選的烏龜是哪一隻並不會影響解題的過程及結果」:所以我們只要關心增減值(即被翻轉烏龜的狀態及數量)即可。
    3. 若前一次增減值為 a ,則下一次的增減值不得為 -a ,否則這兩次的翻轉是無意義的。以圖 2 的啟始狀態為例, 第一次增減值採 -5 (即[5,0],將其中朝上的 5 隻烏龜翻轉),若馬上又採 +5 (即[0,5],將朝下的 5 隻烏龜 翻轉回來),將恢復成啟始狀態,所以這兩次的翻轉是互相扺銷而無意義的。(事實上,我們在解題時發現: 在最少次數的搶救任務中, a 及 -a 是絕不會同時出現的。 請觀察以下的翻轉記錄自行証實)
  • 當待翻數為 2 時,增減值僅可為+2、-2, 所以待翻數為 2 時,各種總數的最佳路徑如下:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    33(-2)1
    44(-2)2(-2)02
    55(-2)3(-2)1
    66(-2)4(-2)2(-2)03
    ( 圖 3 ) 待翻數為 2 時,各種總數的最佳路徑
  • 由圖 3 可知:設烏龜總數為 n 、最少翻轉次數為 s ,則
    1. 若 n 為偶數,即存在一整數 k ,使得 n=2k 時,s=k 。
    2. 若 n 為奇數,則 s 為無限大(即無解)。此無解之情形也可用另一種想法來解釋:對每一隻烏龜而言, 因為啟始時是向上的,所以必須被翻轉奇數次,才能使它向下,因此奇數隻烏龜的被翻轉總數合計也 是奇數的;但因待翻數是 2 ,不論翻多少次,被翻轉烏龜的總次數永遠是偶數,所以要將所有烏龜翻 成向下是一個不可能的任務。同理,當烏龜總數為奇數、最少翻轉次數為偶數時, 也是同樣無解。
  • 當待翻數為 3 時,增減值僅可為+3、+1、-1、-3, 所以待翻數為 3 時,各種總數的最佳路徑如下:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    44(-3)1(+1)2(+1)3(-3)04
    55(-3)2(+1)3(-3)03
    66(-3)3(-3)02
    77(-3)4(-1)3(-3)03
    88(-3)5(-1)4(-1)3(-3)04
    99(-3)6(-3)3(-3)03
    1010(-3)7(-3)4(-1)3(-3)04
    1111(-3)8(-3)5(-1)4(-1)3(-3)05
    1212(-3)9(-3)6(-3)3(-3)04
    ( 圖 4 ) 待翻數為 3 時,各種總數的最佳路徑
  • 由圖 4 可知:設烏龜總數為 n 、最少翻轉次數為 s ,則
    1. 若存在一正整數 k ,使得 n=3k 時,s=k 。
    2. 當 n=3k+1 時,若 k=1 ,則 s= 4 ;若 k>1 ,s= k+1 。
    3. 當 n=3k+2 時,s= k+2 。
  • 當待翻數為 4 時,增減值僅可為+4、+2、-2、-4, 且總數不可為奇數,所以待翻數為 4 時, 各種總數的最佳路徑如下( n 為奇數的情況,前面已分析過必定無解,所以不必考慮 ):
    總數翻轉記錄翻轉次數
    66(-4)2(+2)4(-4)03
    88(-4)4(-4)02
    1010(-4)6(-2)4(-4)03
    1212(-4)8(-4)4(-4)03
    1414(-4)10(-4)6(-2)4(-4)04
    1616(-4)12(-4)8(-4)4(-4)04
    ( 圖 5 ) 待翻數為 4 時,各種總數的最佳路徑
  • 由圖 5 可知:設烏龜總數為 n 、最少翻轉次數為 s ,則
    1. 若存在一正整數 k ,使得 n=4k 時,s=k 。
    2. 當 n=4k+2 時,若 k=1 ,則 s= 3 ;若 k>1 ,s= k+1 。
  • 當待翻數為 5 時,增減值僅可為+5、+3、+1、-1、-3、-5, 所以待翻數為 5 時,各種總數的最佳路徑如下:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    66(-5)1(+3)4(-1)3(-1)2(+3)5(-5)06
    77(-5)2(+3)5(-5)03
    88(-5)3(+1)4(+1)5(-5)04
    99(-5)4(+1)5(-5)03
    1010(-5)5(-5)02
    1111(-5)6(-1)5(-5)03
    1212(-5)7(-1)6(-1)5(-5)04
    1313(-5)8(-3)5(-5)03
    1414(-5)9(+1)10(-5)5(-5)04
    1515(-5)10(-5)5(-5)03
    1616(-5)11(-5)6(-1)5(-5)04
    ( 圖 6 ) 待翻數為 5 時,各種總數的最佳路徑
  • 由圖 6 可知:設烏龜總數為 n 、最少翻轉次數為 s ,則
    1. 若存在一正整數 k ,使得 n=5k 時,s=k 。
    2. 當 n=5k+1、5k+3 時,除 n=6,s= 6 外,若 k=1 ,則 s= 4 ;若 k>1 ,s= k+1 。
    3. 當 n=5k+2、5k+4 時,s= k+ 2 。
  • 當待翻數為 6 時,增減值僅可為 +6、+4、+2、-2、-4、-6, 且總數不可為奇數,所以待翻數為 6 時, 各種總數的最佳路徑如下:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    88(-6)2(+4)6(-6)03
    1010(-6)4(+2)6(-6)03
    1212(-6)6(-6)02
    1414(-6)8(-2)6(-6)03
    1616(-6)10(-4)6(-6)03
    1818(-6)12(-6)6(-6)03
    2020(-6)14(-6)8(-2)6(-6)04
    2222(-6)16(-6)10(-4)6(-6)04
    ( 圖 7 ) 待翻數為 6 時,各種總數的最佳路徑
  • 由圖 7 可知:設烏龜總數為 n 、最少翻轉次數為 s ,則
    1. 若存在一正整數 k ,使得 n=6k 時,s=k 。
    2. 當 n=6k+2、6k+4 時,若 k=1 ,則 s= 3 ;若 k>1 ,s= k+1 。
  • 當待翻數為 7 時,增減值僅可為 +7、+5、+3、+1、-1、-3、-5、-7, 所以待翻數為 7 時,各種總數的最佳路徑如下:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    88(-7)1(+5)6(-3)3(+1)4(+1)5(-3)2(+5)7(-7)08
    99(-7)2(+5)7(-7)03
    1010(-7)3(+1)4(+3)7(-7)04
    1111(-7)4(+3)7(-7)03
    1212(-7)5(+1)6(+1)7(-7)04
    1313(-7)6(+1)7(-7)03
    1414(-7)7(-7)02
    1515(-7)8(-1)7(-7)03
    1616(-7)9(-1)8(-1)7(-7)04
    1717(-7)10(-3)7(-7)03
    1818(-7)11(-1)10(-3)7(-7)04
    1919(-7)12(-5)7(-7)03
    2020(-7)13(-1)12(-5)7(-7)04
    ( 圖 8 ) 待翻數為 7 時,各種總數的最佳路徑
  • 由圖 8 可知:設烏龜總數為 n 、最少翻轉次數為 s ,則
    1. 若存在一正整數 k ,使得 n=7k 時,s=k 。
    2. 當 n=7k+1、7k+3、7k+5 時,除 n=8,s= 8 外,若 k=1 ,則 s= 4 ;若 k>1 ,s= k+1 。
    3. 當 n=7k+2、7k+4、7k+6 時,s= k+ 2 。
  • 綜合以上待翻數為 2、3、4、5、6、7 時的翻轉記錄及分析,尤怪歸納出以下規則:
    設烏龜總數為 n 、待翻數為 m、最少翻轉次數為 s ,則
    若 n 為 m 之倍數存在一正整數 k ,使得 n = mk 時,則 s = k 。
    若 n 不為 m 之倍數m 為偶數n= mk+t, t<m k = 1s = 3
    k > 1s = k + 1
    m 為奇數n= m+1s = n
    n - mk 為奇數k = 1s = 4
    k > 1s = k + 1
    n - mk 為偶數 s = k + 2
    ( 圖 9 ) 待翻數為 m 時,各種總數的最佳路徑
  • 歸納出以上規則之後就是驗証的階段了,各位遊戲者,你們認為以上的歸納是否會有問題呢?
  • 我們可以証明:在待翻數 m 為任意偶數的情況下,圖 9 的規則是對的!
    1. 當 n 為奇數的情形下,對每一隻烏龜而言,因為啟始時是向上的,所以必須被翻轉奇數次,才能使它向下, 因此奇數隻烏龜的被翻轉總數合計也是奇數的;但因待翻數是 m ,不論翻轉的次數是多少次,被翻轉烏龜 的總次數永遠是偶數,所以要將所有烏龜翻成向下是一個不可能的任務。
    2. 當 n = mk 的情形下,因為每次都可以選擇增減值為 -m 的翻轉,將 m 個朝上的烏龜翻下,所以只須 k 次翻轉 即可完成任務。
    3. 在 n 為偶數且 m+1 < n < 2m 的情形下,令 n = m + t ,且 t < m 。因為 n 為偶數,所以 t 也是偶數, 在第一次增減值為 -m 的翻轉之後,形成 ( n - m, m )= ( t, m ) 朝上的烏龜數 t 比 m 少的情況,所以必須先將朝上的烏龜數增為 m ,因為 t 為偶數,所以 t/2 是整數, 只要選擇增減值為 m - t 即 [t/2, m-t/2] 的翻轉即可使朝上的烏龜數增為 m 了 ,因為只要再使用一次 增減值為 -m 的翻轉,就可以完成任務了!所以前後共須 3 次可完成任務。
    4. 當 k>1 時,在 mk < n < m( k + 1) 的情形下,因為在第一次增減值為 -m 的翻轉之後,形成了 ( n - m, m ) 朝上的烏龜數= n - m 仍比 m 多的情況,所以要將朝上的烏龜變成 m( k - 1 ) 是一點問題也沒有的,只要 選擇增減值為 mk-n 的翻轉就可以了,因為此後只要再 k - 1 次即可完成,所以前後共須 k + 1 次 就可以完成任務了!
  • 我們也可以証明:在待翻數 m 為任意奇數的情況下,圖 9 的規則中下列部份是對的!
    1. 當 n = mk 的情形下,因為每次都可以選擇增減值為 -m 的翻轉,將 m 個朝上的烏龜翻下,所以只須 k 次完成。
    2. 當 k>1 時,在 mk < n < m( k + 1) 的情形下:
      • 若 n - mk 為奇數:因為在第一次增減值為 -m 的翻轉之後,形成 ( n - m, m ) 朝上的烏龜數= n - m 仍比 m 多的情況,所以要將朝上的烏龜變成 m( k - 1 ) 是一點問題也沒有的,只要 選擇增減值為 n-mk 的翻轉就可以了,因為此後只要再 k - 1 次即可完成,所以前後共須 k + 1 次。 就可以完成任務了!
      • 若 n - mk 為偶數:因為第一次增減值為 -m 的翻轉之後,雖然形成 ( n - m, m ) 朝上的烏龜數= n - m 仍比 m 多的情況,但因為要將朝上的烏龜變成 m( k - 1 ) 必須 選擇增減值為 mk-n 的翻轉,而那是偶數,所以必須分成 -1、mk-n+1 兩階段來完成, 所以前後共須 k + 2 次才可以完成任務了!
    3. 在 m+1 < n < 2m 的情形下:
      • 若 n - m 為偶數 t (因 m 為奇數,故 n 也為奇數):因為在第一次增減值為 -m 的翻轉之後,形成 ( t, m ) 朝上的烏龜數比 m 少的情況,所以必須先將朝上的烏龜數增為 m ,才能完成任務;因為 t 為偶數, 所以 t/2 是整數,只要選擇增減值為 m - t 即 [t/2, m-t/2] 的翻轉即可使朝上的烏龜數增為 m 了 , 因為此後再使用一次增減值為 -m 的翻轉,就可以完成任務,所以前後共須 3 次(即 k + 2 次)完成任務。
      • 若 n - m 為奇數 t (因 m 為奇數,故 n 為偶數):因為在第一次增減值為 -m 的翻轉之後,形成 ( t, m ) 朝上的烏龜數比 m 少的情況,所以必須先將朝上的烏龜數增為 m ,才能完成任務;但要將朝上的 烏龜變成 m 個須選擇增減值為 m - t ( m、t 為奇數,所以 m-t 為偶數 ) 的翻轉,所以必須分成 兩階段各增加一次奇數值來完成。在前面待翻數為 3、5、7 的情形中,尤怪採用的是分成 +1、t-1 兩階段; 成功的完成任務。但在所有的 n 值中都可如此做嗎?(這部份請不要佩服尤怪,當初我可是一直相信圖 9 的 規則是正確的,直到偶然踫到一次搶救任務居然破了例,才驚覺不對!而繼續做了以下的分析,歸納法的 陷阱常常就像本例一樣,會讓人在不知不覺中陷入錯誤的深淵)
  • 所以有問題的地方僅發生在 n 為偶數、m 為奇數且 t= n-m < m 的情形。且不要看理論,先用實例來測試看看吧!
  • 但在操作實例之前,為了節省時間,我們要証明:若 n1<n2 皆為偶數,t1= n1-m < m、t2= n2-m < m 且 n1 的最少翻轉次數= s1 ,則 n2 的最少翻轉次數 s2<= s1。
    証明:烏龜總數 n1、n2,在經過第一次的 -m 翻轉之後,朝上的烏龜數分別為 t1、t2,如前所述, 因其皆為偶數,所以必須分別分成兩階段完成,設 t1 部分 +a、m-t1-a ,因為 n1<n2 故 t1<t2 , 所以 n2 部分也一定可以分成 +a、2m-n2-a 兩階段使朝上的烏龜數等於待翻數,所以 s2<= s1。
    所以在實作中,我們不必操作所有小於 2m 的偶數,因為同樣的待翻數下,此時 n 值在較大時的最少翻轉總數 一定比值較小時少。
  • 先看看待翻數為 9 的情形吧!因為只要檢視到第一個最少翻轉次數=4 的偶數即可,故列表如下 (也順便列出 n=10 的情形以待後用):
    總數翻轉記錄翻轉次數
    1010(-9)1(+7)8(-5)3(+3)6(-1)5(-1)4(+3)7(-5)2(+7)9(-9)010
    1212(-9)3(+3)6(+3)9(-9)04
    ( 圖 10 ) 待翻數為 9 時最佳路徑分析
  • 在待翻數為 9、 n= 12 時,雖然一樣是 4 次完成,但是已不能分成 +1、+2 兩階段來完成了!因為在 第一次增減值為 -9 的翻轉形成 (3, 11) 後, 只能選擇增減值為 +9、+7、+5、+3 的翻轉,但增減值為 +9、+7 的翻轉會使朝上的烏龜數超過 m 值, 若選擇增減值為 +5 的翻轉,形成 12(-9)3(+5)8 後,朝上的烏龜數比朝下的烏龜數多了,也不能繼續 使朝上烏龜數增加,所以 12(-9)3(+3)6(+3)9(-9)0 是最佳路徑。
  • 待翻數為 11 的情形:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    1212(-11)1(+9)10(-7)3(+5)8(-3)5(+1)6(+1)7(-3)4(+5)9(-7)2(+9)11(-11)012
    1414(-11)3(+5)8(-1)7(-1)6(+5)11(-11)06
    1616(-11)5(+1)6(+5)11(-11)04
    ( 圖 11 ) 待翻數為 11 時最佳路徑分析
  • 在待翻數為 11、n= 14 時,於第一次增減值為 -11 的翻轉形成 ( 3, 11 ) 後,只能選擇增減值 為 +11、+9、+7、+5 的翻轉,如果想用 4 次完成,須在 2 次將朝上的烏龜數增為 m ,增減值為 +11 的翻轉 不必考慮了;若選擇增減值為 +9 的翻轉形成 ( 12, 2 ) 後,是不能再選用增減值為 -1 的翻轉了; 若選擇增減值為 +7 的翻轉形成 ( 10, 4 ) 後,一樣沒法再選用增減值為 +1 的翻轉; 最後若選擇增減值為 +5 的翻轉形成 ( 8, 6 ) 後,仍然沒法再選用增減值為 +3 的翻轉;所以 4 次 是不可能完成任務的,而 14(-11)3(+5)8(-1)7(-1)6(+5)11(-11)0 是其中一個最佳路徑,並且須要 6 次。
  • 待翻數為 13 的情形:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    1414(-13)1(+11)12(-9)3(+7)10(-5)5(+3)8(-1)7(-1)6(+3)9(-5)4(+7)11(-9)2(+11)13(-13)014
    1616(-13)3(+7)10(-1)9(-3)6(+7)13(-13)06
    1818(-13)5(+3)8(+5)13(-13)04
    ( 圖 12 ) 待翻數為 13 時最佳路徑分析
  • 好!在待翻數 m 為奇數、n= m + 1 時,從圖 4、圖 6 、圖 8、圖 10、圖 11、圖 12 的最佳路徑記錄中, 你是否發現解題的規律了呢?沒錯,當 n 為 4 的倍數時,那就是 -m、+(m-2)、-(m-4).....+1、+1、.....-(m-4)、+(m-2)、-m ; 如果 n 不為 4 的倍數時,那就是 -m、+(m-2)、-(m-4).....-1、-1、.....-(m-4)、+(m-2)、-m 。
    下面尤怪就不再記錄 m+1 的情形了!
  • 待翻數為 15 的情形:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    1818(-15)3(+9)12(-3)9(-3)6(+7)13(-13)06
    2020(-13)5(+3)8(+5)13(-13)04
    ( 圖 13 ) 待翻數為 15 時最佳路徑分析
  • 待翻數為 17 的情形:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    2020(-17)3(+11)14(-5)9(+1)10(+1)11(-5)6(+11)17(-17)08
    2222(-17)5(+7)12(-1)11(-1)10(+7)17(-17)06
    2424(-17)7(+5)12(+5)17(-17)04
    ( 圖 14 ) 待翻數為 17 時最佳路徑分析
  • 待翻數為 19 的情形:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    2222(-19)3(+13)16(-7)9(+1)10(+3)13(-7)6(+13)19(-19)08
    2424(-19)5(+9)14(-1)13(-3)10(+9)19(-19)06
    2626(-19)7(+5)12(+7)19(-19)04
    ( 圖 15 ) 待翻數為 19 時最佳路徑分析
  • 待翻數為 21 的情形:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    2424(-21)3(+15)18(-9)9(+3)12(+3)15(-9)6(+15)21(-21)08
    2626(-21)5(+11)16(-3)13(-3)10(+11)21(-21)06
    2828(-21)7(+7)14(+7)21(-21)04
    ( 圖 16 ) 待翻數為 21 時最佳路徑分析
  • 待翻數為 23 的情形:
    總數翻轉記錄翻轉次數
    2626(-23)3(+17)20(-11)9(+5)14(-1)13(-1)12(+5)17(-11)6(+17)23(-23)010
    2828(-23)5(+13)18(-7)11(+3)14(-1)13(-3)10(+13)23(-23)08
    3030(-23)7(+9)16(-1)15(-13)14(+9)23(-23)06
    3232(-23)9(+7)16(+7)23(-23)04
    ( 圖 17 ) 待翻數為 23 時最佳路徑分析
  • 好!應該已差不多可歸納出結果了:
    1. 在待翻數為奇數 m、烏龜總數為偶數 n 且 t= n-m<m 的情形下,若奇數 a 使得 a<m/t<=a+2 成立, 則最佳路徑的翻轉次數 s = a + 3 。
    2. 例:待翻數為 19、烏龜總數為 24 ,因為 t= 24-19= 5, 而 3<19/5<=5,所以最佳路徑的翻轉次數= 3+3= 6。
    3. 例:待翻數為 23、烏龜總數為 26 ,因為 t= 26-23= 3, 而 7<23/3<=9,所以最佳路徑的翻轉次數= 7+3= 10。
    4. 例:待翻數為 11、烏龜總數為 12 ,因為 t= 12-11= 1, 而 9<11/1<=11,所以最佳路徑的翻轉次數= 9+3= 12。
  • 最重要的是,面對搶救任務時,該如何來完成該項任務呢?有耐心看到這裡的遊戲者也許可以和尤怪一樣找出 破解的策略了吧!因為最佳路徑並非唯一,所以每個人的策略可能並不相同哦!下面是尤怪的策略。尤怪就以 下面數個實例來說明吧!
    1. 烏龜總數為 12,待翻數為 9 的情形。因為 t= 12- 9 = 3, 1<9/3<=3,所以最佳路徑的翻轉次數= 1+3=4 :
      序號翻轉記錄策略說明
      112(-9)3.....9(-9)0 因為第一次烏龜全部朝上,所以只能選擇增減值為 -9 的翻轉,而最後一次翻轉要將所有烏龜全部翻轉朝下, 所以也一定是增減值為 -9 的翻轉。
      212(-9)3(+3)6(+3)9(-9)0 只剩兩次就須完成了,所以要去湊合啦!因為朝上的烏龜數要由 3 增到 9,須增 6 為偶數,所以 是要分兩階段完成沒錯,此時 ( 3, 9 ) 可選用的增減值有 +7、+5、+3。( 類似 +9 這類無意 義的翻轉以後就不提了!) 而兩次的 +3 恰為 +6 ,所以就湊上吧!
      ( 圖 18 ) 破關秘訣說明一
    2. 烏龜總數為 16,待翻數為 13 的情形。因為 t= 16- 13 = 3, 3<13/3<=5,所以最佳路徑的翻轉次數= 3+3=6 :
      序號翻轉記錄策略說明
      116(-13)3.....13(-13)0 因為第一次烏龜全部朝上,所以只能選擇增減值為 -13 的翻轉,而最後一次翻轉要將所有烏龜全部翻轉朝下, 所以也一定是增減值為 -13 的翻轉。
      216(-13)3(+7)10.....6(+7)13(-13)0 選擇朝上烏龜全部用上的翻轉, ( 3, 13 ) 的情形下即 [ 3, 10 ] 增減值 +7。
      316(-13)3(+7)10(-1)9(-3)6(+7)13(-13)0 只剩兩次就須完成了,所以要去湊合啦!因為朝上的烏龜數要由 10 減為 6,須減 4 為偶數,所以 是要分兩階段完成沒錯,此時 ( 10, 6 ) 可選用的增減值有 -1、-3、-5。所以不妨就用 -1、-3 吧!
      ( 圖 19 ) 破關秘訣說明二
    3. 烏龜總數為 30,待翻數為 23 的情形。因為 t= 30- 23 = 7, 3<23/7<=5,所以最佳路徑的翻轉次數= 3+3=6 :
      序號翻轉記錄策略說明
      130(-23)7.....23(-23)0 因為第一次烏龜全部朝上,所以只能選擇增減值為 -23 的翻轉,而最後一次翻轉要將所有烏龜全部翻轉朝下, 所以也一定是增減值為 -23 的翻轉。
      230(-23)7(+9)16.....14(+9)23(-23)0 選擇朝上烏龜全部用上的翻轉, ( 7, 23 ) 的情形下即 [ 7, 16 ] 增減值 +9。
      330(-23)7(+9)16(-1)15(-1)14(+9)23(-23)0 只剩兩次就須完成了,所以要去湊合啦!因為朝上的烏龜數要由 16 減為 14,須減 2 為偶數,所以 是要分兩階段完成沒錯,此時不妨就用十分直觀的 -1、-1 吧!
      ( 圖 20 ) 破關秘訣說明三
    4. 烏龜總數為 30,待翻數為 27 的情形。因為 t= 30- 27 = 3, 7<27/3<=9,所以最佳路徑的翻轉次數= 7+3=10 :
      序號翻轉記錄策略說明
      130(-27)3.....27(-27)0 因為第一次烏龜全部朝上,所以只能選擇增減值為 -27 的翻轉,而最後一次翻轉要將所有烏龜全部翻轉朝下, 所以也一定是增減值為 -27 的翻轉。
      230(-27)3(+21)24.....6(+21)27(-27)0 選擇朝上烏龜全部用上的翻轉, ( 3, 27 ) 的情形下即 [ 3, 24 ] 增減值 +21。
      330(-27)3(+21)24(-15)9.....21(-15)6(+21)27(-27)0 選擇朝下烏龜全部用上的翻轉, ( 24, 6 ) 的情形下即 [ 21, 6 ] 增減值 -15。
      430(-27)3(+21)24(-15)9(+9)18.....12(+9)21(-15)6(+21)27(-27)0 選擇朝上烏龜全部用上的翻轉, ( 9, 21 ) 的情形下即 [ 9, 18 ] 增減值 +9。
      530(-27)3(+21)24(-15)9(+9)18(-3)15(-3)12(+9)21(-15)6(+21)27(-27)0 只剩兩次就須完成了,所以要去湊合啦!因為朝上的烏龜數要由 18 減為 12,須減 2 為偶數,所以 是要分兩階段完成沒錯,此時不妨就用十分直觀的 -3、-3 吧!
      ( 圖 21 ) 破關秘訣說明四
    5. 以上示範的均為 n 為 m 兩倍以內的情形,這裡則示範一個兩倍以上的情形吧。
      烏龜總數為 11,待翻數為 3 的情形。因為 11= 3*3+ 2,k 值為 3 比 1 大,所以最佳路徑的翻轉次數= 3+2=5 :
      序號翻轉記錄策略說明
      111(-3)8.....3(-3)0 因為第一次烏龜全部朝上,所以只能選擇增減值為 -3 的翻轉,而最後一次翻轉要將所有烏龜全部翻轉朝下, 所以也一定是增減值為 -3 的翻轉。
      211(-3)8(-3)5.....6(-3)3(-3)0 重複以上翻轉。
      211(-3)8(-3)5(+1)6(-3)3(-3)0 只剩兩次就須完成了,所以要去湊合啦!因為朝上的烏龜數要由 5 增到 6,須增 1 為奇數,所以 只要 1 次翻轉完成沒錯!
      ( 圖 22 ) 破關秘訣說明五
  • 有些遊戲者或許會對如何將增減值轉化為實際的行動有疑問,下面尤怪也以一些例子來說明:
    1. 例:待翻數為 7、烏龜總數為 24 ,要如何進行增減值為 -3 的翻轉呢?
      因為要將朝上的烏龜數減少,所以朝上的烏龜被點選的一定比較多,且多 3 隻。所以只要先點選 3 隻朝上的烏龜, 然後朝上、朝下的烏龜各點選一隻,如此不斷重複,直到確定的按鈕出現即可。
    2. 例:待翻數為 19、烏龜總數為 24 ,要如何進行增減值為 +7 的翻轉呢?
      因為要將朝上的烏龜數增加,所以朝下的烏龜被點選的一定比較多,且多 7 隻。所以只要先點選 7 隻朝下的烏龜, 然後朝上、朝下的烏龜各點選一隻,如此不斷重複,直到確定的按鈕出現即可。
結論
  • 初次接觸本遊戲時,尤怪認為這個遊戲一定不困難,沒想到其中居然暗藏陷阱,害得初時洋洋得意的我跌了一大跤。 不過終於還是完成了破關秘訣,大家努力吧!可不要輕易放棄哦!
  • 尤怪發現最佳路徑所需的最少翻轉次數是有跡可尋的:
    設烏龜總數為 n 、待翻數為 m、最少翻轉次數為 s ,則
    若 n 為 m 之倍數存在一正整數 k ,使得 n = mk 時,則 s = k 。
    若 n 不為 m 之倍數m 為偶數n= mk+t, t<m k = 1s = 3
    k > 1s = k + 1
    m 為奇數n= mk+t, t<m
    t 為奇數
    k = 1a<m/t<=a+2
    a 為奇數
    s = a+ 3
    k > 1s = k + 1
    n= mk+t, t<m
    t 為偶數
    s = k + 2
    ( 圖 23 ) 待翻數為 m 時,各種總數的最佳路徑
  • 尤怪也找到了對應於各種烏龜總數、待翻數的翻轉策略。
  • 這個遊戲雖然十分的簡單,但卻是訓練兒童歸納推理能力的好素材。兒童可藉著找出最佳路徑所需的 最少翻轉次數及行子規律的過程,學習到歸納推理的方法,所以是值得推介給小朋友的益智數學遊戲。
 
 
 
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