好玩的三角獨子棋

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遊戲介紹
  • 三角獨子棋是一個單人進行的益智數學遊戲。除了利用電腦來玩之外,也可以隨時隨地以 15 個錢幣、棋子、小石子 等物件排放成一個三角形就可以玩了,十分的方便。
    ( 圖 1 ) 三角獨子棋的遊戲棋盤
  • 為了方便敘述,我們把三角獨子棋的棋盤位置加上了編號,在實際的遊戲中,這些編號是不必要的。
  • 在電腦的三角獨子棋程式中,本遊戲被設計成由易而難,不過若在沒有電腦或在不想利用電腦的情形下玩本遊戲時, 一般的玩法是:
    1. 將 15 個棋子排成三角形之後,隨機抽走任一個棋子,例如圖 1 中被抽走的棋子是編號 4 號的棋子 (以後我們將記成 C4 棋子)。
    2. 然後依照類似跳棋的玩法,可以任選一子,跳過緊鄰的一子後,落到另一方的空格上,不過被跳過的子 將要被移走。例如:
      序號圖例說明
      1原始狀況
      2 選擇 C11 跳過 C7 落到 C4 。
      3 跳動後,C11 的棋子移到 C4,而 C7 上的棋子則被移走。 往後我們將以 C11 ==> C4 來記錄這一手跳子。
      ( 圖 2 ) 三角獨子棋的跳子規則
    3. 依照上述的跳子規則,不斷的跳子,最後若能只留下唯一的一個棋子,而將其他的所有棋子全部移開棋盤, 那便是完成遊戲的任務了。
  • 在三角獨子棋的遊戲中,以下課題是十分值得研究的:
    1. 在第一個步驟中,我們要從排成三角形的 15 個棋子中隨機抽走任一個棋子,會不會發生取走特定的某一子時 將會是無解的情形呢?
    2. 抽走特定的一個棋子開始遊戲後,如果規定留下的棋子必須停留在指定的位置才算過關,是不是都能有解?
    3. 當遊戲有解時,如果將同一個棋子連續的跳子移動視為一手,最少移動步數的最佳解需要多少手?
    4. 在第一個步驟中,如果我們改從排成三角形的 15 個棋子中隨機抽走任二個棋子,會不會發生取走特定的某二子時 將會無解的情形呢?
    試試!如果不看以下的解答,你能找出以上課題的答案嗎?
遊戲研究
  • 雖然在第一個步驟中,我們是從排成三角形的 15 個棋子中隨機抽走任一個棋子,但如果把棋盤加以旋轉、鏡射, 其實須要討論的位置只有 4 個:C0、C1、C3、C4。其餘的位置都可藉著將棋盤加以旋轉、鏡射的方式 變成同等的情形:
    1. 和 C0 同等的位置有:C10、C14。
    2. 和 C1 同等的位置有:C2、C6、C11、C9、C13。
    3. 和 C3 同等的位置有:C5、C12。
    4. 和 C4 同等的位置有:C7、C8。
  • 課題一:在第一個步驟中,我們要從排成三角形的 15 個棋子中隨機抽走任一個棋子,會不會發生取走特定的某一子時 將會是無解的情形呢?
    1. 由前述討論可知,只要探討取走的棋子是 C0、C1、C3、C4 等四個位置的情形即可。經研究, 不論取走的是哪一個棋子,全部有解,而且解得非得漂亮,除了取走 C4 時最後一個子無法回到 C4 外, 取走 C0、C1、C3 時,最後留下的一子都恰巧留在第一個空白上。
      序號圖例解法解法手數
      1 C5==>C0、C12==>C5、C14==>C12、C11==>C13、C9==>C2、C3==>C12、 C13==>C11、C0==>C3、C6==>C1==>C8、C10==>C12==>C5==>C010
      2 C6==>C1、C5==>C3、C0==>C5、C1==>C6、C9==>C2、C1==>C4、 C13==>C11、C10==>C12==>C5、C2==>C9、C14==>C5==>C3、C6==>C111
      3 C0==>C3、C6==>C1、C5==>C0==>C3==>C5、C9==>C2、C11==>C4、C13==>C11、 C10==>C12==>C5、C2==>C9、C14==>C5==>C39
      4 C11==>C4、C9==>C7、C1==>C8、C2==>C9、C6==>C1、C13==>C11、 C0==>C3==>C12、C11==>C13、C14==>C5==>C12、C13==>C11、C10==>C1211
      ( 圖 3 ) 任意抽離一子的解法示例
  • 課題二:抽走特定的一個棋子開始遊戲後,如果規定留下的棋子必須停留在指定的位置才算過關,是不是都能有解?
    1. 由課題一的研究結果,我們已可知道本題的答案為否。因為當第一手取走 C4 時,最後一個子是無法留在 C4 上的。
    2. 那麼,取走特定子之後,最後一子可能的停留終點位置有哪些?經研究,解答如下:
      留白位置終點位置解法解法手數
      C0 C0C5==>C0、C12==>C5、C14==>C12、C11==>C13、C9==>C2、C3==>C12、 C13==>C11、C0==>C3、C6==>C1==>C8、C10==>C12==>C5==>C010
      C12C5==>C0、C14==>C5、C7==>C9==>C2、C1==>C8、 C13==>C4、C6==>C1==>C8、C1==>C13、C0==>C5==>C12、C13==>C11、C10==>C1210
      C6C3==>C0、C5==>C3、C0==>C5、C6==>C1、C9==>C2、 C11==>C4、C13==>C11、C10==>C12==>C5、C2==>C9、C14==>C5==>C3、C1==>C611
      C9C3==>C0、C5==>C3、C0==>C5、C6==>C1、C9==>C2、 C12==>C3、C14==>C12、C1==>C6、C11==>C14==>C4、C10==>C3==>C5、C2==>C911
      C1 C1C6==>C1、C5==>C3、C0==>C5、C1==>C6、C9==>C2、C1==>C4、 C13==>C11、C10==>C12==>C5、C2==>C9、C14==>C5==>C3、C6==>C111
      C5C6==>C1、C0==>C3、C8==>C1==>C6、C11==>C4、 C2==>C7、C9==>C2、C13==>C11==>C4、C10==>C3==>C5、C2==>C9、C14==>C510
      C10C6==>C1、C12==>C3、C14==>C12、C11==>C13、C5==>C12、 C13==>C11、C0==>C5、C1==>C6、C9==>C2==>C7、C10==>C3==>C12==>C1010
      C13C6==>C1、C12==>C3、C14==>C12、C11==>C13、C5==>C12、 C13==>C11、C1==>C6、C0==>C5、C9==>C2==>C7、C10==>C3==>C12、C11==>C1311
      C3 C2C0==>C3、C6==>C1、C12==>C3、C1==>C6、C9==>C7、C2==>C9、 C10==>C12==>3、C6==>C1==>C8、C14==>C12==>C5、C9==>C210
      C3C0==>C3、C6==>C1、C5==>C0==>C3==>C5、C9==>C2、 C11==>C4、C13==>C11、C10==>C12==>C5、C2==>C9、C14==>C5==>C39
      C8C0==>C3、C6==>C1、C5==>C3、C1==>C6、C11==>C4、 C13==>C11、C14==>C5、C2==>C9==>C7、C10==>C12==>C3、C6==>C1==>C810
      C11C0==>C3、C6==>C1、C5==>C3、C1==>C6、C14==>C5、 C2==>C9、C12==>C5==>C14==>C12、C11==>C13、C10==>C3==>C12、C13==>C1110
      C14C0==>C3、C6==>C1、C5==>C3、C1==>C6、C14==>C5、 C2==>C9、C12==>C5==>C14==>C12、C11==>C13、C10==>C3==>C12==>C149
      C4 C12C11==>C4、C9==>C7、C1==>C8、C2==>C9、C6==>C1、C13==>C11、 C0==>C3==>12、C11==>C13、C14==>C5==>C12、C13==>C11、C10==>C1211
      ( 圖 4 ) 留白位置及終點位置的解法示例
    3. 由圖 4 可知:不同的留白位置有不同的終點位置,當留白位置為 C3 時,可完成的終點位置最多,有 5 個 之多;而當留白位置為 C4 時,可完成的終點位置最少,只有 1 個 C12 而已。
  • 課題三:當遊戲有解時,如果將同一個棋子連續的跳子移動視為一手,最少移動步數的最佳解需要多少手?
    1. 如果限定留白位置及終點位置,那麼圖 4 所列即為最少移動步數的最佳解之一,而且同樣手數的移動方法 都至少有數十個以上,有些甚至有上千種同樣手數的不同移動方法。
    2. 如果不限定留白位置及終點位置,那麼留白在 C3 而終點在 C3 或 C14 的跳法是最少移動步數的最佳路徑。 如果有不明就裡的人要來和你比賽,看誰能用最少的步數將棋局完成,那麼你一定要選擇本路徑才是正解。
  • 課題四:在第一個步驟中,如果我們改從排成三角形的 15 個棋子中隨機抽走任二個棋子,會不會發生取走特定的 某二子時將會無解的情形呢?。
    1. 當留白位置只有一個時,由課題二可知,不論留白位置在哪裡,是全部有解的。或許有人會想當然爾的認為: 如果留白位置改為兩個,也必然是有解的。
    2. 留白位置改為兩個時,必然有解嗎?下圖是我們的研究結果:
      留白位置可能的終點位置最佳解之手數
      C0、C1C3 或 C148
      C0、C3C5 或 C107
      C0、C4無解X
      C0、C6無解X
      C0、C7C3 或 C149
      C0、C10C3 或 C148
      C0、C11C5 或 C108
      C0、C12無解X
      C1、C2C129
      C1、C3C0 或 C129
      C1、C4C310
      C1、C5無解X
      C1、C6無解X
      C1、C7無解X
      C1、C8C1210
      C1、C9C3 或 C149
      C1、C10無解X
      C1、C12C3 或 C148
      C1、C13無解X
      C3、C4C5 或 C109
      C3、C5C0 或 C127
      C3、C8無解X
      C4、C7無解X
      ( 圖 5 ) 留白數為 2 時的解法表
    3. 15 個棋子任選兩個的組合本來應有 15 × 14 = 210 個不同組合。但是如果把棋盤加以旋轉、鏡射, 其實須要討論的組合只剩下圖 5 中的 23 種而已。
    4. 留白位置改為兩個時,可能的終點位置反而減少了,最多只能有兩個;無解的情形不但有, 而且比例蠻高的。
    5. 當留白位置為 1 個時,對於不同的終點位置常會有不同的最佳解手數;但留白位置改為兩個時,對於可能的 終點位置其最佳解的手數是完全相同的。
    6. 如果不限定留白位置及終點位置,有不明就裡的人要來和你比賽,看誰能用最少的步數將取走二子的棋局完成, 那麼最佳的選擇是:取走 C0、C3 或者 C3、C5,那麼只要 7 手就可完成任務。以下各舉一例解法供做參考:
      留白
      位置
      終點位置解法解法手數
      C0、C3 C5C10==>C3、C1==>C6、C12==>C10==>C3、C8==>C6==>C1、C2==>C7、C9==>C2、C14==>C12==>C3==>C0==>C57
      C10C10==>C3、C1==>C6、C12==>C10==>C3==>C12、C13==>C11、C9==>C7、C2==>C9、C14==>C5==>C3==>C12==>C107
      C3、C5 C0C10==>C3、C1==>C6、C12==>C10==>C3、C8==>C6==>C1、C2==>C7、C9==>C2、C14==>C12==>C3==>C0==>C57
      C12C10==>C3、C1==>C6、C12==>C10==>C3==>C12、C13==>C11、C9==>C7、C2==>C9、C14==>C5==>C3==>C12==>C107
      ( 圖 6 ) 留白數為 2 時的最佳解法示例
結語
  • 綜上所述,我們發現:
    1. 留白數為 1 個時,一定有解。其中留白在 C3 位置而終點位置在 C3 或 C14 者最佳解的手數最少,僅須 9 手。
    2. 雖然留白數為 1 時,任意的留白位置均有解;但不同的留白位置只能到達相對的部分終點位置。其中留白在 C3 時, 可到達的終點位置最多,有 5 個;而留白在 C4 時可能到達的終點位置最少,只有 1 個。
    3. 不同的留白位置及對應的終點位置,最佳解的手數不一定相同。
    4. 如果留白數為 2 時,有大約半數的組合可能無解。在有解的組合中,最佳解的手數最少的僅須 7 手。
  • 三角獨子棋的難度並不高,留白數為 1 個時,最佳解的手數僅須 9 手;留白數為 2 個時,更是僅須 7 手就可完成; 但其中的變化卻十分的多,是個十分值得推介給兒童的益智遊戲,有心的教師、家長,請千萬不要錯過了哦!
 
 
 
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