積魔方陣及雙重魔方陣

概述
  • 一般的魔方陣要求方陣中的每行、每列及對角線上的數字之和都要為定數,積魔方陣(Multiplication magic squares) 取一般魔方陣的概念,但要求的是方陣中每行、每列及對角線上的數字之積都為定數。下圖就是一個 4 階積 魔方陣的例子,它的每行、每列及對角線上的數字之積(定積)= 401,393,664 :
  • 上圖的積魔方陣並不是和魔方陣,如果本身是和魔方陣又是積魔方陣,則稱為雙重魔方陣。
雙重魔方陣
  • 雙重魔方陣不但每行、每列及對角線上的數字之和都為定數,且每行、每列及對角線上的數字之積也都為定數。
  • Walter W. Horner 在 1955 年及 1956 年第一次發表了 8 階及 9 階的雙重幻方,如 圖 2 、圖 3 :
    ( 圖 2 ) 8 階雙重魔方陣
    定和為 840
    定積為 2,058,068,231,856,000
    ( 圖 3 ) 9 階雙重魔方陣
    定和為 848
    定積為 5,804,807,833,440,000
  • 梁培基及顧同新不但造出了同階的雙重魔方陣,且其定和及定積更小,更難能可貴的是發展出此類方陣的通用 方法 -- 方陣定位法(數學傳播,民89年9月,p65-69),由於文中所列資料並不詳盡,所以只列出其造出 且刊載於刊上的方陣供大家觀賞:
    ( 圖 2 ) 8 階雙重魔方陣
    定和為 600
    定積為 67,463,283,888,000
    ( 圖 3 ) 9 階雙重魔方陣
    定和為 784
    定積為 2,987,659,715,040,000
  • 依據文中記載:他們共造出了 41 個 8 階雙重魔方陣、 6 個 9 階雙重魔方陣。尤怪不才, 在研讀該文時曾仿其法來試填,結果也造出了 4 個 8 階雙重魔方陣及 143 個 9 階雙重魔方陣, 這 4 個 8 階雙重魔方陣是否在梁顧兩位前輩已填出的方陣列表之中,因資料缺乏,尤怪不敢隨便猜測; 但由於他們聲稱只填出了 6 個 9 階雙重魔方陣,所以尤怪的這 143 個 9 階雙重魔方陣至少有 137 個 不在他們造出來的方陣之中。尤怪造出的雙重魔方陣,請參考:
    1. 4 個 8 階雙重魔方陣
    2. 143 個 9 階雙重魔方陣
補遺
參考資料
    本網頁乃參考下列網頁或資料設計而成。
  • 平方幻方與雙重幻方的構造,梁培基、顧同新,民78年9月,數學傳播,p65∼69。
  • magic square of John R. Hendricks
 
 
 
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