對稱魔方陣

概述
  • 對稱魔方陣英文名為: Symmetrische magische Quadrate 或 Self Complementary Square。
  • 把一個 n 階的魔方陣旋轉 180 後和原方陣重疊,如果任何兩個相疊的數字之和都等於 1+n2時, 這樣的方陣就叫做對稱魔方陣。
  • 最簡單的對稱魔方陣就是 3 階魔方陣。
     8   1   6 
     3   5   7 
     4   9   2 
     2   9   4 
     7   5   3 
     6   1   8 
    8+2=10 1+9=10 6+4=10
    3+7=10 5+5=10 7+3=10
    4+6=10 9+1=10 2+8=10
    原始方陣 旋轉 180 後的方陣 重疊後的方陣
    (圖1) 三階對稱魔方陣一例

  • 下面是一個 4 階對稱魔方陣的例子。
    16 3 2 13
    9 6 7 12
    5 10 11 8
    4 15 14 1
    1 14 15 4
    8 11 10 5
    12 7 6 9
    13 2 3 16
    16+1=17 3+14=17 2+15=17 13+4=17
    9+8=17 6+11=17 7+10=17 12+5=17
    5+12=17 10+7=17 11+6=17 8+9=17
    4+13=17 15+2=17 14+3=17 1+16=17
    原始方陣 旋轉 180 後的方陣 重疊後的方陣
    (圖2)四階對稱魔方陣一例

對稱魔方陣的填造方法
對稱魔方陣的變形
對稱魔方陣的階數
    對稱魔方陣的階數必定是奇數或 4 的倍數。
    証明如下:
  • 設一 n 階方陣為對稱魔方陣,且 n 為偶數。
  • 先將此方陣分成大小相等的四個小方陣,並設左上角的小方陣各數字之和為 A。
  • 設右上角小方陣各數字之和為 A',因為魔方陣的上半共有 n÷2 列,
    而列和為 n(1+n2)÷2
    所以 A'= (n(1+n2)÷2)×(n÷2)-A = n2(1+n2)÷4 -A
  • 設右下角小方陣各數字之和為 A",
    由對稱魔方陣的定義可知右下角各數字和左上角各數字兩兩之和為1+n2
    所以 A"= ((1+n2)×(n2÷4)-A = n2(1+n2)÷4 -A
  • 所以 A'= A",即右半兩個小方陣各數字之和相等
    同理,下半、上半、左半兩個小方陣各數字之和也相等,
    所以這四個小方陣各數字之和全部相等。
  • 因為四個小方陣各數字之和全部相等,所以原始方陣各數字的和一定要被 4 整除,
    即: (n2(1+n2)÷2) 要被 4 整除,
    因 1+n2 為奇數,所以n2 必須被 8 整除
    假設 n 不是 4 的倍數,即 n= (4k+2),
    則 n2 = (4k+2)2 = 16k2+ 8k + 4 不是 8 的倍數,這是矛盾的,
    所以 n 是 4 的倍數。
    現在以圖 2 的 4 階對稱魔方陣為例,說明如下:
    16 3 2 13
    9 6 7 12
    5 10 11 8
    4 15 14 1
    (圖2)四階對稱魔方陣一例

  • 將此方陣分成大小相等的四個小方陣後,左上角的小方陣各數字之和為 A= 16 + 3 + 9 + 6 = 34。
  • 設右上角小方陣各數字之和為 A',因為魔方陣的上半共有 n÷2= 2 列,
    而列和為 n(1+n2)÷2= 4(1+16)÷2= 34
    所以 A'= 34-(16+3)+ 34-(9+6)= 34×2-A = 34
  • 設右下角小方陣各數字之和為 A",
    由對稱魔方陣的定義可知右下角各數字和左上角各數字兩兩之和為1+n2= 17,
    所以 A"= 1+14+8+11= (17-16)+(17-3)+(17-9)+(17-6)= 17×4-(16+3+9+6) = 17×4-A = 34
  • 所以 A'= A",即右半兩個小方陣各數字之和相等
    同理,下半、上半、左半兩個小方陣各數字之和也相等,
    所以這四個小方陣各數字之和全部相等。
 
 
 
 | 回上頁 | 回首頁 |