迴轉式擴階法

迴轉式擴階法
  • 本法僅能填製 6 以上的偶階(即6、8、10、12、14、16、18......等階)魔方陣。
  • 本法填製的魔方陣,如果將最外圍的一圈數字去除,仍然是魔方陣,故又稱為多層魔方陣或同心魔方陣。
  • 使用本法有兩個基本型必須強記:
    1. 當 n 為 4 k 時(即階數為 4 的倍數,例 8、12、16.....)要使用初始 6 數之基本型 1。
    2. 當 n 為 4 k + 2 時(即階數不為 4 的倍數,例 6、10、14.....)要使用初始 10 數之基本型 2。 (其實其他配置方式極多,但基本型 1 、2 是尢怪認為最規律而易記的)
  • 本法填製偶階魔方陣共分四個步驟:
    1. 視階數的 n 值為 4 k 或 4 k + 2 而在外層填入相對的基本型。
    2. 由任一個區域開始,順時鐘或反時鐘方向均可,將小於 2 * n - 2 的數字依序填入上下左右四個區域中, 但每填入四個數字後就要將填入的方向反轉。
    3. 將空白部分以相對位置(同行、同列或同對角線的兩端)的補數填入即完成填製。
      (註: a 的補數 = ( n 2 + 1) - a )
    4. 在方陣核心先排出一個 n - 2 階的魔方陣,然後將核心方陣的每一個數字都加上 2 * n - 2。
  • 由於數字填入時,都是在不斷的迴轉,所以命名為迴轉式擴階法。
  • 本法可以一口氣填製出偶階魔方陣,不必任何輔助工具,下面以 14 階方陣的填製為例來說明:
  • 本法也可以用來將任意的偶階魔方陣擴階成更高階數的魔方陣。其填製方法完全相同,只不過在填製完外層空白後, 即停止填製,並將核心方陣全部加上目前最大數(不計填入的補數)即可。以 14 階方陣而言,若以 12 階方陣為核心, 加數為 26,若以 10 階方陣為核心,加數為 48 ...... 以此類推。當然也可用公式算出,但沒必要, 因為在填製時已經得知,公式為: (n 2 - m 2 )/2 ,m 表示核心方陣的階數。
 
迴轉式擴階法填製示範
  • 選擇所要示範的階數後,程式即可為你填製顯示!
  • 除了對角線上的數字不可任更換位置外,每層方陣的內部區域各數字可任意調換(但相對位置的數字也要調換), 其變化數在
    1. 6 階時共有 ( 4 ! )2個。
    2. 8 階時共有 ( 6 ! )2( 4 ! )2個。
    3. 10 階時共有 ( 8 ! )2( 6 ! )2( 4 ! )2個,......。
  • 請示範填製階魔方陣:
 
迴轉式擴階法的基本型變化填製示範
  • 以本法填製魔方陣時,可有下列變化:
    1. 更改核心的四階方陣:非全等的四階的魔方陣有 880 個,實在太多了,所以尤怪只準備了四個代表性的供變換。
    2. 更改 4 k 階基本型的填法:尤怪只使用 6 個數字的兩個基本型來變換。
    3. 更改 4 k + 2 階基本型的填法:尤怪使用了 10 個數字的 140 個基本型來變換。
    4. 改變各區域的填入順序:這部份的變化以 6 階而言共有 ( 4 ! )2, 8 階時共有 ( 6 ! )2( 4 ! )2, 10 階時共有 ( 8 ! )2( 6 ! )2( 4 ! )2,......。
  • 選擇所要示範的階數後,程式即可為你填製顯示!
  • 請示範填製階魔方陣:
 
更多的變化
  • 以上的說明及示範在填製數字時,都是先將數字填在基本型上,其實在階數大於 8 階時, 除了基本型的位置外,尚有迴轉填入數字的空間,此時基本型的位置不一定要先填入, 而可以在任何一階段的迴轉後進行,例如在第 20 階的外圈時,外圈數字有 4 * 19 = 76 個, 但只要填入其中的半數 38 個,另 38 個可以用補數來唯一決定。而前段填入的 38 個數字可以如下變化:
    1. 如上示範的基本填法: 先將 1 ∼ 6 填入基本型的位置,其餘數字每 8 個一組迴轉填入。
    2. 先將 1 ∼ 8 迴轉填入,再將後續的 9 ∼ 14 填入基本型位置, 15 以後的數字再迴轉填入。
    3. 先將 1 ∼ 16 迴轉填入,再將後續的 17 ∼ 22 填入基本型位置, 23 以後的數字再迴轉填入。
    4. 先將 1 ∼ 24 迴轉填入,再將後續的 25 ∼ 30 填入基本型位置, 31 以後的數字再迴轉填入。
    5. 先將 1 ∼ 32 迴轉填入,再將後續的 33 ∼ 38 填入基本型位置。
  • 迴轉填入數字時,不一定要以順時鐘或反時鐘方向行進,那只是為了方便填製及說明;其實每一組 8 個數字的前 4 個, 可以由任意的區域開始,並按任意的順序填入,但後 4 個數字一定要反向填入,每一組數字也可使用不同的順序。
 
 
 
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