Ralph Strachey法(偶階)

簡介
  • 本法見於 Benson 和 Jacoby 合著的魔方陣新探(NEW RECREATIONS WITH MAGIC SQUARES) 中的第 19 至 25 頁。
  • 本法只能填製偶數階的魔方陣,但單偶數( 即 6, 10, 14, 18, 22 .... 等可轉換成 4 k + 2 型式的偶數)和雙偶數 ( 即 4, 8, 12, 16, 20 .... 等可轉換成 4 k 型式的偶數)階的填製要領有稍許的不同。
  • 本法需使用兩個輔助方陣,填製時,先將每個輔助方陣劃分成 4 個 ( n ÷ 2 ) 階小方陣,每個小方陣姑且命名為 A, B, C, D,如圖 1 :
     A  B 
     C  D 
    (圖 1)輔助方陣切割示意圖
 
單偶數階魔方陣的填製介紹
  • 由於所要填製的魔方陣階數為單偶數( n = 4 k + 2 ),所以每一個小方陣的階數都是奇數( = 2 k + 1)。
  • 第一個輔助方陣的填製法說明如下:( 圖2 為 10 階魔方陣的填製一例,此時 k = 2):
    1. 在 A 區的每一列任意放置 k 個 3,其餘填 0,但在大方陣的對角線上(也就是 A 方陣中由左上到右下的對角線) 必須恰有 k + 1 個 3。
    2. 在 B 區的每一列任意放置 k + 2 個 2,其餘填 1,但在大方陣的對角線上(也就是 B 方陣中由右上到左下的對角線) 必須恰有 k + 2 個 2。
    3. 將 A、B 區做上下的鏡射,以其數字的補數(0、3 及 1、2互為補數)填到 C、D 區。
    4. 最後將每一個數字都乘上 n2÷4。
  • 第二個輔助方陣的填製法說明如下:( 圖3 為 10 階魔方陣的填製一例 )
    1. 在 A 區造一個任意的 2 k + 1 階魔方陣(本程式採用簡捷連續法填製,但可為任意奇階魔方陣)。
    2. 在 B 區也造一個任意的 2 k + 1 階魔方陣。
    3. 將 A、B 區做上下的鏡射,以其數字填到 C、D 區即可。
  • 輔助方陣完成後,以兩個方陣同一位置的兩數相加所得出的方陣即為魔方陣,如圖 4 。
 
雙偶數階魔方陣的填製介紹
  • 由於所要填製的魔方陣階數為雙偶數( n = 4 k ),所以每一個小方陣的階數都是偶數( = 2 k )。
  • 第一個輔助方陣的填製法說明如下:( 圖5 為 8 階魔方陣的填製一例,此時 k = 2):
    1. 在 A 區的每一列任意放置 k 個 3,其餘填 0,但在大方陣的對角線上(也就是 A 方陣中由左上到右下的對角線) 必須恰有 k 個 3。
    2. 在 B 區的每一列任意放置 k 個 2,其餘填 1,但在大方陣的對角線上(也就是 B 方陣中由右上到左下的對角線) 必須恰有 k 個 2。
    3. 將 A、B 區做上下的鏡射,以其數字的補數(0、3 及 1、2互為補數)填到 C、D 區。
    4. 最後將每一個數字都乘上 n2÷4。
  • 第二個輔助方陣的填製法說明如下:( 圖6 為 10 階魔方陣的填製一例 )
    1. 在 A 區造一個任意的 2 k 階魔方陣(當階數大於 4 時,可先用本法填出後應用)。
    2. 在 B 區也造一個任意的 2 k 階魔方陣。
    3. 將 A、B 區做上下的鏡射,以其數字填到 C、D 區即可。
  • 輔助方陣完成後,以兩個方陣同一位置的兩數相加所得出的方陣即為魔方陣,如圖 7 。
 
Ralph Strachey法 逐步填製示範
  • 請選擇所要示範的階數後,程式即可為你示範填製!
  • 請示範填製階魔方陣:
 
Ralph Strachey法鬼方陣填製示例
  • 要利用 Ralph Strachey 法來填製鬼方陣,須滿足下面條件:
    1. 兩個輔助方陣的 A、B 方陣都要是廣義的鬼方陣(行、列、所有對角線和均相等)。
  • 當方陣的階數為單偶數時,第一個輔助方陣的 A、B 方陣都不可能造出廣義的鬼方陣,所以利用本法無法造出 4 k + 2 階的鬼方陣(其實也並不存在)。
  • 當方陣的階數為 8 k + 4 時,第二個輔助方陣的 A、B 方陣都是 4 k + 2 階,鬼方陣不存在,所以利用本法也無法造出 8 k + 4 階的鬼方陣。
  • 所以本法只能造出 8 k 階( 即 8 、 16 、 24 、 32 、 40 、 48 ...... 等階) 的鬼方陣。
  • 請選擇所要示範的階數後,程式即可為你示範填製!
  • 請示範填製階魔方陣:
 
參考資料
  • william H.Benson and OSwald Jacoby, "NEW RECREATIONS WITH MAGIC SQUARES", Dover publications, 1976, pp.19-25。
 
 
 
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