偶階同心魔方陣填製探討

通論
  • 本網頁主要在探討及發展偶數( 6, 8, 10, 12, .....)階同心魔方陣的一些填製策略。
  • 填製偶數階的魔方陣時,單偶數( 即 6, 10, 14, 18, 22 .... 等可轉換成 4 k + 2 型式的偶數)和雙偶數 ( 即 4, 8, 12, 16, 20 .... 等可轉換成 4 k 型式的偶數)階的填製要領會有稍許的不同。
  • 一個 n 階魔方陣的最外圍一圈共有 4 ( n - 1 ) 個數字,且必為
    1, 2, 3, ...... 2 n - 2 和 n 2 - 2 n -1, n 2 - 2 n, n 2 - 2 n + 1, ......, n 2
  • 這 4 ( n - 1 ) 個數字也必定會分成 2 ( n - 1 ) 組數對,即
    ( 1, n2 )、( 2, n2 - 1 )、......、 (2 n - 2、n 2 - 2 n -1)
    每個數對的和都是 n2 + 1,我們稱做互為補數。
  • 數對中的某一個數被安放在方陣外圍的某一個位置後,數對中互補的另一個數 其位置也會跟著被確定,其規則如下:
    1. 如果第一個數的位置在方陣的四個角落之一,補數的位置必在對角線上的另一個角落。
    2. 如果第一個數的位置在方陣上下方的某一行中,補數的位置必在該行的另一個端點。
    3. 如果第一個數的位置在方陣左右方的某一列中,補數的位置必在該列的另一個端點。
    為了方便往後的陳述,姑且稱此規則為補數填製規則
  • 因為同心魔方陣的這一個特殊性質,所以在填製時其實只要考慮 1, 2, 3, ...... 2 n - 2 如何填製到 下圖的 a、b 兩個位置及 U、B、L、R 各區即可。
    aUb

    L
    R
    B
    ( 圖 1 ) 同心方陣填製區示意圖
  • 假如用 Σ(U) 表示 U 區中數字範圍在 1 ∼ 2 n - 2 的各數字之和,而 C(U)表示 U 區中數字範圍 在 1 ∼ 2 n - 2 的數字個數,則很容易可証明只要符合以下填製規則者,必定可形成同心魔方陣:
    1. C(B) = C(U) + 2 = n ÷2 即 C(B) + C(U) = n - 2
    2. Σ(U) + a + b = Σ(B)
    3. C(L) = C(R) = n ÷2 - 1 即 C(L) + C(R) = n - 2
    4. Σ(L) + a = Σ(R) + b
    為了方便往後的陳述,姑且稱此規則為尤怪定律
 
雙偶數階同心魔方陣的填製法
 
單偶數階同心魔方陣的填製法
  • 當魔方陣的階數 n 為單偶數即 n = 4 k + 2 時,因為 2 n - 2 = 8 k + 2 ,所以只要考慮 1, 2, 3, ...... 8 k + 2 的填製位置即可。
  • 因為 C(B) + C(U) = n - 2 ,所以 a、b 兩數及 U、B 兩區的數字共有 n = 4 k + 2 個數字。
  • 因為 1 ∼ n 的和為 n×( n + 1 )÷2 = ( 2 k + 1 )( 4 k + 3) 是奇數,所以填到首、末列的 n 個數字 不可能只用 1 ∼ n,而需摻入其他不連續的數字。這是單偶數階和雙偶數階的擴階填製法必定會有部分不同的原因。
  • 單偶數階同心魔方陣的填製法如下:
    1. 四數法
    2. 數對法
    3. 單偶數階同心魔方陣的填製
    4. 鍾濱樵擴階法
    5. 迴轉式擴階法
    6. SEKI 擴階法
    7. SSRS 擴階法
    8. Kraitchik 擴階法
 
 
 
本網頁建置日期:91.02.15 | 最近更新日期:91.02.15  | 回上頁 | 回首頁 |