二餘法

前言
  • 在運用餘數法時,當然會先優先考慮是否可以應用唯一法,因為它的得解率是 100%。但如果沒有唯一法可應用的空間, 第二個最佳選擇就是二餘法了。
  • 所謂二餘法就是某一個單元(行、列或九宮格)待填的數字已降到 2 個時,就以該單元所餘待填的兩個數字,在 所餘的兩個空格之所在群組的另兩個單元中尋找,如果可以找到任何一個,就可以確認空格之正解;且如果找到了某個空格的正解, 那麼另一個空格的正解就隨之確定,所以二餘法雖然不像唯一法得解率 100%,但保証一次可得到兩個正解,也是令人十分暢快的。 因為目標確定,須要觀察的項目不多,又保証一次可得到兩個正解,所以算是十分簡易有效、使用的優先順序應排在前面的方法。
餘數法策略分析
  • 敘述的文字再多,不如實例及圖示,我們就以 < 圖 1 > 為例來說明二餘法的技巧,並分析餘數法的運用策略吧!
    <圖 1>
  • 在 <圖 1> 中,我們找不到已填 8 個數字的單元(行、列、宮),所以不能使用唯一法求解。在唯一法之後,如何使用餘數法才好呢? 請試著比較以下二者的求解策略:
  • 求解策略一:
    1. 找到一格看起來同一群組中已填數字似乎較多的空格,例如 <圖 2> 中的 (3, 7)。
      <圖 2>
    2. 開始點算本群組已出現過的數字:找不到數字 1、(2, 7)=2、(6, 7)=3、(9, 7)= 4、找不到數字5、(7, 7)=6、 (5, 7)= 7、(4, 6)= 8、(3, 3)= 9,所以數字 1、5 都還有可能填入本格,以目前資料還不能確認正解為何。
    3. 再找一個空格,重複以上過程以求解。如果運氣好一點,例如找到了空格 (8, 7),則因為(8, 9)=1、(2,7)=2、 (6, 7)=3、(9, 7)= 4、找不到數字5、(7, 7)=6、(5, 7)= 7、(1, 7)= 8、(9, 8)= 9,所以只剩下數字 5 還 沒有出現、是唯一有可能填入本格的數字了,此時 (8, 7) 的正解當然就是數字 5 無疑啦!
    4. 在 (8, 7) 填入數字 5 之後,發現第 7 行出現了唯一解,但其正解為何呢?為了求解,只好再點算一次: 找不到數字 1、(2, 7)=2、(6, 7)=3、(9, 7)= 4、(8, 7)= 5、(7, 7)=6、 (5, 7)= 7、(4, 6)= 8、(3, 3)= 9,哦!(3, 7) 的正解就是數字 1。
  • 求解策略二:
    1. 找到一個看起來已填數字似乎較多的單元,例如 <圖 3> 中的第 7 行。
      <圖 3>
    2. 開始點算本單元已出現過的數字:找不到數字 1、(2, 7)=2、(6, 7)=3、(9, 7)= 4、找不到數字5、(7, 7)=6 (5, 7)= 7、(4, 6)= 8、(4, 7)= 9,所以本單元僅剩數字 1、5 都還有可能填入。
    3. 開始點算 (3, 7) 的其他群組數字,在此格之同一列及同一九宮格中找不到數字 1 或 5,所以本格的可能填數仍為兩個, 無法確認何者為正解。
    4. 開始點算 (8, 7) 的其他群組數字,在此格之同一列中找到 (8, 9)= 1,所以本格的正解 (8, 7)= 5。
    5. 因為數字 5 已被 (8, 7) 填入了,所以 (3, 7)= 1。
  • 上述的策略一及策略二有何不同呢?
    1. 策略一的每一次點算,對其他格並沒有任何幫助。
    2. 策略二的數字點算,則對單元內的其他格有決定性的助益。
  • 一般的初學者大概都會先採用上面的策略一,等到一段時間之後,或許是有人教導,或許是自行領悟,自然會改採策略二。
  • 如果您也認同策略二可能優於策略一。那麼問題又來了:倒底要怎麼挑選策略二中的單元呢?
    1. 如果挑選只剩下一個空格的單元,哦!那是唯一法,得解率可是百分之百的。
    2. 如果挑選只剩下兩個空格的單元,那就是本網頁所要探討的部分。
    3. 如果挑選只剩下三個空格或四個空格的單元,那叫做三餘法及四餘法。
    4. 如果運用以上方式仍找不到解,只好全面一一點算,那就是唯餘法了。
  • 使用唯一法時,只要點算本單元的數字即可,不必管群組中另兩個單元有什麼數字,所以得解率百分之百。
  • 使用二餘法時,要先點算本單元尚缺哪兩個數字,然後在群組中的另兩個單元去找,如果可以找到任何一個,就可以 確認空格的正解。且一次可得到兩個空格的正解。
  • 使用三餘法時,要先點算本單元尚缺哪三個數字,然後在群組中的另兩個單元去找,如果可以找到任何兩個,就可以 確認空格的正解。通常會再繼續使用二餘法的技巧嘗試找解,因為可省去點算的過程了。
  • 使用四餘法時,要先點算本單元尚缺哪四個數字,然後在群組中的另兩個單元去找,如果可以找到任何三個,就可以 確認空格的正解。通常會再繼續使用三餘法的技巧嘗試找解,因為可省去點算的過程。
  • 使用唯餘法時,要先點算本單元尚缺哪些數字,然後在群組中的另兩個單元去找,如果只有一個數字找不到,就可以 確認空格的正解。
  • 點算本單元的數字之後,記住哪些數字沒有出現,然後到群組中的另兩個單元去找,這樣的過程中,當然是需要記住的數字越少越好了, 所以餘數法之運用通常是唯一法優先,接著是二餘法,三餘法、四餘法再次之,唯餘法僅在不得已時用之。
  • 不過在實際的解題中,尤怪通常會先採取摒餘法,如果十分順暢,就根本不用餘數法,如果感到有一點阻滯,就會適時使用唯一法, 當不得已而需使用餘數法時,會直接跳用四餘法,即單元內未填數字在 4 (包含 4) 以下的都會進行點算,而不拘泥於 2、3 、4 的順序。 至於何法較佳,可能也是各有所愛吧!
二餘法詳解
  • 像 <圖 3>那般,先選定的單元是行,然後得出的正解 (8, 7)= 5,我們為了稱呼方便, 通常就叫做行二餘解 (8, 7)= 5
  • 如果先選定的單元是宮,然後得出的正解,通常就叫做宮二餘解。 例如在 <圖 4> 中,我們就可得到宮二餘解 (3, 4)= 6。
    <圖 4>
  • 如果先選定的單元是列,然後得出的正解,通常就叫做列二餘解。 例如在 <圖 5> 中,我們就可得到列二餘解 (3, 1)= 3。
    <圖 5>
  • 要注意的是:在點算行、列二餘法的數字時,同群組的宮常會被遺漏,如果這樣的話,那就十分可惜了,例如 <圖 6> 就一定要點算 到 (6, 2) 的數字 3,才能確認列二餘解 (4, 3)= 6。
    <圖 6>
二餘法的註記
  • 使用二餘法求解時,如果可得到二餘解,當然要把正解填入空格,但是如果無法確認任一空格的正解時,難道就只能放棄,把辛苦點算的結果 白白浪費、拋棄了嗎?例如:<圖7> 中的第 8 行符合二餘法的應用條件,但是若使用二餘法卻無法得到二餘解:
    <圖 7>
  • 有些人認為沒有任何註記才叫做直觀法,但尤怪認為:「只使用一枝筆,由接到題目起,立刻就可以進行紙本數獨解題。」的方法,就叫做直觀法了。 何況類似上述情況,我們並不是刻意要去找候選數,只是因為二餘法需點算數字,因此得到的資訊,卻只能白白浪費、拋棄, 真的有此必要做這樣的堅持嗎?
  • 所以尤怪的直觀法解題,在解題過程中是允許註記的,但是這些註記絕非刻意取得,只是在應用各種解題法無法得解時, 將所獲得的一些有用訊息記錄下來,以節省再次蒐集所須花費的時間及精力。當然尤怪也不贊成如候選數法一般,把蒐集得來的所有候選數 全部註記在空格中,因為太多的資訊並不一定有用,尤怪建議僅做雙候選數的註記。例如 <圖 7> 的第 8 行經使用二餘法之後,雖無法得到 二餘解,但可知 (5, 8)、(9, 8) 均有雙候選數 4、6,故可註記如 <圖 8>:
    <圖 8>
  • 至於註記下來的雙候選數可供做哪些應用,請參考數對唯餘法、數對摒除法、區塊數對唯餘法等技巧的說明。
結語
  • 餘數法的缺點就是要點算數字,所以已入門的玩家通常會在使用摒餘法求解不太順利時才使用。而摒餘法中又以宮摒餘比較好辨認。 所以宮二餘解通常在宮摒餘時就已被篩選出來。
  • 雖然在進行餘數測試時可任意挑選行、列或九宮格等單元來進行,但是初期最好挑選行、列來做, 找到有解的機率較大,因為這樣找到的就是先前所忽略的行摒除解、列摒除解, 至於測試後期就無妨了。
 
 
 
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