三、四餘法

前言
  • 所謂三餘法就是某一個單元(行、列或宮)待填的數字已降到 3 個時,就以該單元所餘待填的三個數字,在 群組中的另兩個單元去尋找,如果可以找到任何兩個,就可以確認空格之正解;
  • 四餘法就是某一個單元(行、列或宮)待填的數字已降到 4 個時,就以該單元所餘待填的四個數字,在 群組中的另兩個單元去尋找,如果可以找到任何三個,就可以確認空格之正解。
餘數法策略分析
  • 敘述的文字再多,不如實例及圖示,我們就以下面二例來說明餘數法的使用技巧,並分析餘數法的運用策略吧!
    <圖 1>
  • 三餘法的系統搜尋:以下用圖 1 的例題示範三餘法的系統搜尋方法
    1. 請自己訂一個搜尋的順序,例如以下將用列、行、宮的順序進行,當然您也可以用宮行列或行宮列,個人習慣即可。
    2. 先看第 1 列:只填了 4 個數字,有 5 個空格,所以跳過。
    3. 再看第 2 列:填了 6 個數字,只有 3 個空格,所以可用三餘法了,未填的數字是5、8、9。
      • 在(2,3)的另兩個單元--第 3 行及左上宮找找看:第 3 行有數字 5,左上宮並無589中的任一數,所以共只找到一個 5, (2,3)仍有兩個可能的數字 8 及 9 無法認定,只能註記後跳過。
      • 在(2,4)的另兩個單元--第 4 行及中上宮找找看:第 4 行及中上宮都找不到589中的任一數,所以 (2,4)仍有三個可能的數字,不註記便跳過。
      • 在(2,5)的另兩個單元--第 5 行及中上宮找找看:第 5 行有數字 8 ,中上宮都找不到589中的任一數,所以 (2,5)仍有兩個可能的數字 5 及 9 無法認定,只能註記後跳過。
    4. 再看第 3 列...第 4 列...
    5. 如果找到了最好,如果 9 個列都找完了卻仍沒找到,只好開始找行,然後找宮。本題的解出現在左中宮,此時盤勢如<圖 2>:
        <圖 2>
      • 左中宮的未填數字為 1、2、8。
      • 在(5,2)的另兩個單元--第 5 列及第 2 行找找看:在第 2 行就找到數字 1、2,所以(5,2)的正解即尚未出現的數字 8, 記為左中宮三餘解(5,2)=8。
      • 打鐵要趁熱,此時應一鼓作氣,繼續在(5,3)、(6,3)找二餘解。在本例中應找不到,但可分別做上雙候選數註記。
      • 尤怪還有一個習慣,此時會以剛找到數字解 8 進行宮摒餘的尋找,在本例中可先找到左上宮摒餘解 (2,3)=8、 然後是中上宮摒餘解 (3,4)=8。
  • 四餘法的系統搜尋:同三餘法的系統搜尋,由自訂的列、行、宮等順序一一搜尋,當發現某一單元的未填空格為 4 時, 例如圖 3 的第 3 行,就可用下列的方法來操作:
      <圖 3>
    1. 開始點算本單元(第 3 行)已出現過的數字,未填的數字是 1、5、7、8。
    2. 在(1,3)的另兩個單元--第 1 列及左上宮找找看:第 1 列有數字 7,左上宮並無1578中的任一數,所以共只找到一個 7, (1,3)仍有 3 個可能的數字 158 無法認定,只能跳過。
    3. 在(3,3)的另兩個單元--第 3 列及左上宮找找看:第 3 列有數字 5,左上宮並無1578中的任一數,所以共只找到一個 5, (3,3)仍有 3 個可能的數字 178 無法認定,只能跳過。
    4. 在(8,3)的另兩個單元--第 8 列及左下宮找找看:第 8 列有數字 1、5,左下宮有數字 8,所以共找到了 1、5、8 三數, (8,3) 只餘數字 7 一個可能,所以出現了第 3 行四餘解 (8,3)=7。
  • 在 <圖 1>及<圖 3> 中,我們用摒餘法已無法找到正解,只能開始使用餘數法了。
    1. 先用唯一法嗎?好,沒問題,但請大家找找看,當然是找不到唯一解的。
    2. 再接著用二餘法嗎?好,也請大家找找看,應該也一樣找不到二餘解。
    3. 再試著去找三餘,然後才四餘嗎?經過以上兩個循環之後,可能您已經的心裡已經有一點鬆動,不再堅持需依序去找了吧!
    4. 如前所述,<圖 1> 確實是有一個三餘解的,但如果和 <圖 3> 一樣並沒有三餘解呢?三餘法和四餘法的難度差別, 會大到讓我們認為再浪費一個循環去點算空格的時間是值得的嗎?如果兩者的難度區別夠大,這個時間當然值得花, 但如果兩者的難度區別不大,何必多花這一個循環的時間呢?
  • 所以尤怪對餘數法的使用策略是:
    1. 先使用摒餘法,如果十分順暢,完全不考慮改用餘數法。
    2. 如果在使用摒餘法時有一點阻滯,則會注意是否有唯一法或二餘法使用時機的出現,當出現了,就改採唯一法或二餘法。
    3. 不論使用的唯一法或二餘法是否有解,均再回復摒餘法繼續搜尋。
    4. 當使用摒餘法己找不到解時,改採四餘法,即:對所有空格數為 4 以下的單元進行餘數法的點算。 這時可能會出現一些待填數字僅 1、2 格的單元,因為人的注意力有限,在之前進行摒餘法時要完全兼顧,確有困難, 沒關係,現在可以一併點算之。
    5. 當使用餘數法時,有解最好,無法確認正解但候選數只餘兩個時,做下雙數註記。
    6. 如果找到了餘數解,尤怪會用該解的數字找一下摒餘解,至於之後是繼續用餘數法或就此改用摒餘法呢? 尤怪大概都會在進行一個循環的餘數法之後,才改用摒餘法。但這種做法只是個人習慣,沒有什麼理論根據或速度保証。 因為有些題目只需用到一次餘數法,有些則需用到兩次以上,沒有解完題,沒人可以預知結果,所以找到餘數解後是 否就此改用摒餘法,也很難給出一個定論。
結語
  • 在運用餘數法時,就是點算本單元的數字之後,記住哪些數字沒有出現,然後到群組中的另兩個單元去找。在這樣的過程中, 當然是需要記住的數字越少越好了,所以通常是唯一法優先,接著是二餘法,再次呢?還需要依著三餘、四餘、五餘...的 順序,一個一個依序尋找嗎?
  • 也許不同的人有不同的意見,不過尤怪認為,一次記住 4 個數字進行篩選已十分不易,且一般書報雜誌已將 需用四餘法的題目歸類為困難級,只有極少數的題目真的需用到 五餘、六餘(唯餘)法,所以在摒餘法之後, 直接跳用四餘法可能是個不錯的選擇。
 
 
 
本網頁建置日期:96.01.01 | 最近更新日期:97.07.28  | 回上頁 | 回首頁 |